[数学文化观下的极限概念]用极限定义的数学概念
时间：2019-01-28 17:58:42 来源：千叶帆 本文已影响人
极限概念是分析数学中最基本的概念之一,用以描述变量在一定变化过程中的终极状态。极限理论是微积分学的基础,它从方法论上突出地表现了微积分学不同于初等数学的特点,极限思想(方法)揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用,借助于极限思想(方法),人们可以从有限认识无限,从“不变”认识“变”,从直线形认识曲线形,从量变认识质变,从近似认识准确,所以,在物理、生物、经济等学科中有广泛的应用,这是由其本身固有的思维功能所决定。深刻理解极限概念,有助于我们提升观点和能力。
但是,极限的定义,术语抽象、符号陌生,其中的辩证关系不易搞清,初学者总是会问:为什么要搞个定义?数学家怎么会想出这种“古怪而讨厌”的定义?正如R・柯朗与H・罗宾所说:“初次遇到它时暂时不理解是不足为怪的,遗憾的是某些课本的作者故弄玄虚,他们不作充分的准备,而只是把这个定义直接向读者列出,好像作些解释就有损于数学家的身份似的。”
从古至今,人们对于极限概念的认识经历了一段漫长的过程。从最初时期朴素、直观的极限观经过了2000多年的发展,演变成为近代严格的极限理论,在现代数学中,人们又引进了更广泛和更一般的极限概念。这其中的思想演变是渐进的、相互推动的。
一、朴素的、直观的极限
这种极限观在我国古代的文献中就有记载,最著名的是《庄子・天下篇》中记载的惠施(约前370～约前310)的一段话:“一尺之锤,日取其半,万世不竭。”[1]公元3世纪,中国数学家刘徽(263年左右)成功地把极限思想应用于实践,其中最典型的方法就是在计算圆的面积时建立的“割圆术”。由于刘徽所采用的圆的半径为1,这样圆的面积在数值上即等于圆周率,所以说刘微成功地创立了科学的求圆周率的方法。刘徽采用的具体做法是:在半径为一尺的圆内,作圆的内接正六边形,然后倍增边数,依次算出内接正6边形、正12边形、…、算到直至(3072)边形的面积,得到,称为“徽率”。刘徽认为:“‘割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆和体,而无所失矣。’刘徽以不可割的极限状态证明了与圆周合为一体的正多边形的面积就是圆面积。”[2]这就是割圆术所反映的朴素的极限思想。
刘徽的极限观念与古希腊的安蒂丰(Antiphon,约前480～约前410)不谋而合。安蒂丰在讨论化圆为方的问题时想到用边数不断增加的内接正多边形面积来接近圆面积,当多边形的边数不断增加时,最后一定能“耗尽”多边形与圆之间空隙的面积,因而达到圆面积成方(求积)的目的。著名希腊数学家阿基米德(Archimede,约前287～约前212)在几何学方面成功地导出了曲边图形的面积和曲面立方体的体积的计算公式,在推演这些公式的过程中,他创立了“穷竭法”,类似于现代微积分中所说的极微分割、逐步近似求极限的方法。阿基米德的数学思想中蕴涵着微积分的思想,穷竭法所蕴涵的思想就是近代极限概念的雏形,但他没有极限概念,他是根据力学原理去发现问题,然后用归谬法来证明有关结论的。“由于希腊人‘对无限的恐惧’,他们避免明显地‘取极限’,而是借助于简接证法――归谬法完成有关证明。”[3]
纵观这一段时期,无论是中国古代还是古希腊数学家们对极限的理解都是比较初步的,形成的极限观念也是十分朴素和直观的。在对穷竭法的运用中,还没有摆脱几何形式的束缚。但是这些不足却为后来的数学家们去近一步探索精确的极限概念产生了一定的推动作用。
二、现代数学的极限
首次给出极限描述性定义的是法国数学家达朗贝尔(D′Alembert,1717～1783)。他认为:“一个变量趋于一个固定量,趋于程度小于任何给定量,且变量永远达不到固定量。”[4]
严格的极限理论是由法国数学家柯西(Cauchy,1789～1857)初建,1821年,柯西定义:“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值,最终使变量的值和该定值之差要多小有多小,这个定值叫做所有其它值的极限。”[5]柯西提出了极限理论的方法,把整个极限用不等式来刻画。他引入“lim”来表示极限,并且用希腊字母表示任意小的差。以极限的算术定义为基础,柯西给出了无穷小,无穷大的定义:“当一个变量的数值这样地无限减小,使之收敛到极限零,那么这个变量就叫做无穷小;当变量的数值这样地无限的增大,使该变量收敛到极限∞,那么该变量就成为无穷大。”[6]
德国数学家魏尔斯特拉斯(Weierstrass,1815～1897)对柯西的方法进行了改造。魏尔斯特拉斯反对“一个变量趋于一个极限”的说法,因为这种说法使人们想起了时间和运动。他把一个变量简单的解释成一个字母,该字母代表它可以取值的集合中的任意数,这样运动就消除了。一个连续变量是这样一个变量,若是该变量的集合中的任一值而是任意正数,则一定有变量的其它值在区间中。他给出了相当完备的方法,即设是函数定义域内的一点,若对给定的任一随意小的数,可求得另一正数,使得与之差小于的一切值,和另一数A的差小于,则数A是函数于点的极限。这就是当今通用的的定义“,当时,有。”这样,整个极限的运算就成为一串不等式的推导,极限概念的算术化就实现了。
关于序列极限的正确概念早在1655年由英国数学家沃利斯(Wallis,1616～1703)给出,但是后来未被人们采用。捷克数学家波尔查诺(Bernard Bolzano,1781～1848)在1817年也给出了序列收敛条件的正确表达。柯西后来重新得到了这些结果,现在把序列收敛的判别准则归功于柯西,称为柯西收敛准则。19世纪的数学家终于消除了长久以来极限概念的不明确性给人们带来的种种困惑,建立了严格的极限理论,极限的定义一直延续到今天。
三、对极限概念的理解
我们的微积分教科书在“数列极限”一节开篇总有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的说法。就是这种继续不断、没完没了的过程,数学上称之为“潜在的无限”,它永远是现在进行时,每一步都是有限的,却永远不会结束。
然而,数学所研究的另一种无限是“实无限”,其实,初等数学里实无限已经是研究对象了:几何学中的曲线,由无限多个点组成;说到自然数集N,它含有全体自然数;闭区间中所有实数等等。都是一个真实的“无限集”。理解极限的困难,其实是由实无限所引起的。我们也应该把极限过程看作完成了的无限过程,看作一个整体,看作实无限,是“从延伸到穷竭的产物”。极限本质上具有二重性,是一种“双相无限结构”。
当研究时,应当采取双相无穷论观。因为“”既包含潜无限性质,又包含实无限性质,它在本质上具有双相无限性,而这里的极限,确实达到了,这里确确实实是一个精确的等式。徐利治教授指出:实无限是要通过潜无限来刻画(表现)的,……,但仅仅靠内蕴性和潜无限性质绝对不可能完成极限过程,必须把潜无限和实无限结合起来,才能完成极限过程,这一点是至关重要的。正是在这至关重要的一点上,我们的微积分教学没有处理好,它一直在向师生渗透潜无穷观,它一直在用潜无限性理解极限过程,因此,教学的都是未完成的极限过程。
极限是为积分学承上启下的概念,是微积分知识和方法的核心,因而,正确处理和理解极限概念,是微积分学习成败得失的关键问题。
参考文献:
[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2001.
[2]傅海伦.中外数学史概率[M].北京:科学出版社,2007.
[3]刘云章.极限法的哲学思考[J].中学数学教学参考,2002(7):1-3.
[4]李文林.数学珍宝[M].北京:科学出版社,1998.
[5]杜石然,孔国平.世界数学史[M].长春:吉林教育出版社,1996.
[6]杜瑞芝.数学史辞典[M].济南:山东教育出版社,2000.
作者简介:房元霞(1966―),女,山东邹平人,聊城大学数学科学学院教师,主要从事数学教学论、数学基础课的教学和研究。
