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    基于问题驱动的函数的微分教学探讨

    时间:2023-02-22 20:25:06 来源:千叶帆 本文已影响

    吴小腊 李泽华

    函数的微分是高等数学中的一个教学难点,也是微积分教学的重点之一。传统的教学方法通常是基于正方形金属薄片的面积受温度变化影响的实例,分析面积的变化量与正方形边长变化量之间的关系,给出函数微分的定义,然后通过纯逻辑推理证明定义的合理性,举例给出基本初等函数微分的计算,并讨论微分在近似计算中的应用。结果是,同学们能依样画瓢地完成简单函数微分的计算,但根本不理解微分的数学思想,也不明白微分究竟有什么用。同学们对微分概念的理解远未达到预期教学目的。这与独立学院培养应用型人才的育人目标相距甚远。

    独立学院的学生,因数学基础薄弱和学习习惯相对较差,大部分学生对数学的学习兴趣较低。传统的教学方法,主要采用演绎思维,纯粹的符号逻辑,带给同学们的是枯燥的演算,扼杀的是本身就不太浓厚的学习兴趣。兴趣是最好的老师。改革独立学院高等数学课堂教学需要从培养学生的学习兴趣开始。认知心理学告诉人们,兴趣来源于需求,根源于问题的解决。因此,问题驱动教学法成为探索课堂教学改革的重要方法之一[1~3]。

    问题驱动教学,是一种教学方法,也是一种教学模式,更是一种教学思想。与传统的先学习理论知识再解决实际问题的授课方法不同,该方法强调以学生为主体,以问题为核心,指导和帮助学生在分析问题和解决问题的过程中达到对知识学习和能力培养目的的一种教学方法[4]。“问题驱动”教学法是以建构主义教学理论为基础,从具体的教学问题出发,通过设计层层深入有效的问题,向学生展示知识点的形成过程[5]。该方法的关键是构建合理的“问题链”,其前提是明确教学目标、充分了解学生并创设适当的问题情境,其逻辑基础是思维的训练,其价值导向是思想的构建。

    本文基于问题驱动教学法教学改革实践,以函数的微分为例,总结并展示基于问题驱动教学法的教学设计过程和实施策略,为高等数学课堂教学改革实践提供参考。

    (一)学情分析。从教材内容上看,函数的微分是在学完函数的连续性和导数概念后引入的。即,先建立极限思想,由极限思想建构连续性和导数概念,然后给出函数微分的定义,进而讨论微分的计算和微分在近似计算中的应用。该逻辑是通顺的,但也是机械的。该逻辑有利于从形式上展示函数的连续性、导数和微分的知识架构,但很难帮助一个初学者建构相关的数学思维。函数的连续性、导数和微分,本质上都是函数的增量问题,其共同的基础概念是增量,共同的数学思想是极限。函数的连续性讨论的是当自变量的增量趋于0时,函数值的增量是否也趋于0;
    导数讨论的是函数值的增量与自变量的增量的比的极限,即变化率问题;
    微分则主要讨论函数值的增量与自变量的增量的近似关系,即局部线性化问题。因此,在学习微分的概念时,需要紧扣增量概念和极限思维,重点剖析函数的局部线性化近似思想。这是微分概念教学中问题链构建的基本出发点。

    从教学内容上看,函数的微分主要包括四个内容:微分的定义、微分的几何意义、微分的计算和微分的应用。这四个内容对应着数学教学过程中的三大基本类型,即概念教学(定义和几何意义)、计算教学和应用教学。不同的类型,所采用的教学方法是不同的,“问题链”的构建也是不同的。

    微分的定义包括显式定义和隐式定义。显式定义是指dy=f′(x)dx或dy/dx=f′(x)。一般地,教材仅把它作为一个结论给出,学生都能从形式上记住该式子,但大部分学生并不理解该式所表达的实际含义。隐式定义是指教材上的定义,即

    设函数y=f(x)在某个区间内有定义,x0及x0+Δx在这个区间内,如果增量

    Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

    可表示为

    Δy=AΔx+o(Δx)

    其中A是不依赖于Δx的常数,那么称y=f(x)在点x0是可微的,而AΔx叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy=AΔx。

    微分的隐式定义是微分概念教学中的难点。其困难主要表现为:一是微分的名称与其字面涵义不符,属于数学中典型的起名不当的概念之一。二是定义中的A属于形式逻辑的符号表示。当学生的抽象思维达不到形象思维与符号抽象的一致时,学生们就很难在思维上产生共振。从而表现为“听不懂”或“没感觉”,进而演变成听课“分心”或“走神”。三是从隐式定义dy=AΔx过渡到显式定义dy=f′(x)dx,中间还需要证明A=f′(x),这对大部分同学来说都是不简单的,也是微分概念教学中需要重点突破的难关之一。

    从学生的基本情况来看,独立学院在本科招生时属于“三本”,需要学习高等数学的专业主要是工科类专业和经济管理类专业。在中国高等教育大众化的发展背景下,“三本”的学生,其基础相对较差,其特征表现为数学基础知识不够扎实、学习习惯较差、对数学的学习兴趣偏低、独立思考和抽象思维的能力偏弱。因此,面向独立学院的高等数学课堂,应根据学生的基本情况,适度调整教学难度,降低思维起点。

    (二)教学目标与教学策略。根据学情分析和教学大纲,确定本节课的教学目标:一是理解微分的显示定义和隐式定义,二是掌握基本初等函数的微分的计算,三是了解微分在近似计算中的应用。

    由于微分的核心思想是非线性函数的局部线性化,主要解决函数值增量的近似计算问题。因此,本节课主要围绕线性化方法展开相关的知识结构和思维结构的构建。

    在微分的定义中,隐式定义dy=AΔx与实际应用联系最紧密,显式定义与微分的计算和理论应用关系最亲。因此,教学设计思路中,分别依据微分的隐式定义和显式定义,构建相关的问题链。主要教学思路如图1所示。

    图1 教学过程设计思路

    答:3点多,或3到4之间。

    学生们开启思考,但茫然无措,陷入沉思。

    此时,大部分同学都能想到,函数在一点的导数表示函数在该点处的切线的斜率。于是,同学们都能在图像上画出过点(9,3)处的切线。设该切线方程为y=L(x),如图2所示。

    图2 函数的图像

    问5:能否写出切线方程的表达式?

    问7:由于线性函数具有简单易算特点,因此,我们能否推导出非线性函数局部近似计算的一般方法呢?

    设非线性函数的一般表达式为y=f(x),在定义域内满足连续可导,则在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线方程为

    y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)

    设该切线方程为y=L(x),则

    L(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)

    这个线性函数L(x)称为函数f(x)在点x=x0处的线性化。如果用该线性函数L(x)近似替代x=x0处附近的非线性函数f(x),则有

    f(x)≈L(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)

    这就是非线性函数在局部范围内线性化的一般方法。

    通过该部分的讨论,可以培养学生的抽象思维和归纳思维,即由具体的实例归纳和抽象出一般性方法。

    (三)微分的隐式定义。由非线性函数的局部线性近似方法,讨论函数值的增量问题。此处,结合微分的几何意义图像,通过问题链构建微分的隐式定义。如图3所示。

    图3 微分的几何意义

    问8:如图3所示,直线y=L(x)是曲线y=f(x)在点x=x0处的切线。假设在x=x0处的附近,非线性函数y=f(x)的值用线性函数y=L(x)近似替代。当自变量x从x0变化到x0+Δx时,函数y=f(x)的增量是多少?用线性函数y=L(x)近似替代计算时,实际所得的增量是多少?这两个增量之间的误差是多少?两个增量和误差之间的关系如何?

    答:函数y=f(x)的增量是EF,实际计算所得的增量是EP,误差是PF,它们之间的关系是

    EF=EP+PF

    Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=f′(x0)Δx+PF

    或者

    Δy=f(x0+Δx)-f(x0)≈f′(x0)Δx

    令dy=f′(x0)Δx,则称dy为函数y=f(x)在点x=x0处的微分。它是x从x0变化到x0+Δx时函数y=f(x)的增量的近似。

    (四)微分在近似计算中的应用。例1 设有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,要镀上一层铜,厚度为0.01cm。请估算每个球需要用铜多少g(铜的密度是8.9g/cm3)?

    问9:球的体积公式是什么?

    问10:在铜的密度已知时,估算铜的用量,关键是估算什么?

    答:估算体积。

    问11:根据微分的含义,估计铜的体积的计算公式是什么?

    问12:当R=R0=1,ΔR=0.01时,ΔV=?

    所需铜的用量是多少?

    答:ΔV≈4×3.14×12×0.01=0.13(cm3).

    每个球需要用铜约为

    0.13×8.9=1.16(g).

    (五)微分的显式定义。问13:微分主要研究函数的增量问题。函数的微分表示函数增量的主要部分。其中涉及四个概念:自变量的增量、自变量的微分、函数值的增量和函数的微分。这四个概念之间有什么关系呢?如何用符号来表示它们?

    答:自变量的增量记为Δx,自变量的微分记为dx,这两者表示同一个概念,即Δx=dx。函数值的增量记为Δy,Δy=f(x0+Δx)-f(x0),函数的微分记为dy,dy=f′(x)dx,当|Δx|很小时,Δy≈dy。一般地,

    Δy=dy+误差=f′(x)Δx+o(Δx)。

    因为微分dy是函数值的增量Δy的一种线性近似值,因此常常被称为线性主部。当Δx→0时,误差项是自变量增量的高阶无穷小量,记为o(Δx)。

    有了这些记号,函数的微分通常写为

    该式称为函数微分的显式定义。导数也叫做“微商”。

    (六)微分的计算。有了微分的定义,理论上可以计算任何函数在可微点处的微分。一般地,计算复杂函数的微分通常是基于基本初等函数的微分公式和微分的运算法则而得到的。有了前面的求导公式,基本初等函数的微分公式很容易根据微分的显式定义得到,此处不必重复。

    此外,微分的定义还可以帮助记忆前面已经证明的反函数、复合函数和参数方程的求导公式。

    问14:如何借助微分的定义记忆反函数、复合函数和参数方程的求导公式?

    对高等数学中函数的微分的部分知识采用了问题驱动教学,并给出了教学设计过程。教学实践表明,采用问题驱动教学,将复杂的微分概念通过问题链拆解为一系列前后衔接的简单问题,降低了认知难度和思维难度,能激发学生的学习兴趣,有效提高学生课堂注意力,课堂氛围活跃,课后作业质量明显改善。期末考试中,有关微分考题的得分较往年明显提高。

    问题驱动教学法实施的关键是问题链的设计,其价值导向是双向“驱动”。一方面驱动学生积极思考,在解决问题的过程中获得持续的学习内驱力;
    另一方面驱动教师深入研究教学内容和研究学生,从认知角度化解思维上和认知上的障碍。当然,问题驱动教学法只是众多教学方法中的一种,它与其他教学方法和教学模式并不是独立的,它也不一定能适应高等数学中所有知识点的教学。因此,积极探索问题驱动教学法与其它教学方法的融合,将是推进高等数学课堂教学改革持续向好的重要方向之一。

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