“平行线的判定”：基于相似性，重构数学史

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摘要：针对“平行线的判定”常规教学的不足，从HPM的视角来设计和实施本节课的教学：利用重构式，从学生对平行线的认知起点出发，为学生创造更多的探究机会，与数学史上数学家们对平行线的认知相呼应，让学生更深刻地理解平行线的判定方法一和基本性质；采用附加式，展示历史上平行线符号的演变过程，引导学生感悟数学文化。课后反馈表明，这样的教学取得了较好的效果，体现了融入数学史的“探究之乐”“知识之谐”“方法之美”和“文化之魅”“德育之效”。

关键词：HPM历史相似性平行线教学设计学生反馈

“平行线的判定”是沪教版初中数学七年级下册第十三章《相交线、平行线》第二节的内容。作为其第一课时的内容，教材以生活中的一些实例为切入点，让学生找出身边的一些平行形象，从而引出平行线的关键属性（“同一平面内不相交”）以及画法；接着从实验几何的角度，通过平推三角尺的操作实践得到公认正确的基本事实“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么這两条直线平行”，作为平行线的判定方法一；然后仍然通过操作实践得到平行线的基本性质“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”；最后通过例题讲解得到平行线的传递性。教师通常认为，平行线的判定方法很基本，让学生一起背几遍即可。但是，在教学实践中存在着以下问题：（1）平行线是几何中抽象的概念之一，如何让学生在有限不延伸的范围内画出无限延伸的两条平行直线？（2）如何让学生自然判定它们的平行关系？（3）怎样的探究过程更容易让学生理解和接受平行线的判定方法一？（4）怎样让学生更好地理解和接受平行线的基本性质不能被证明？此外，常规教学也无法让学生了解平行线符号的演变过程。

教学前测表明，学生对“平行线的判定”的理解存在着历史相似性。因此，我们可以从HPM的视角来设计和实施“平行线的判定”的教学，从学生对平行线的认知起点出发，为学生创造更多的探究机会，与数学史上数学家们对平行线的认知相呼应，让学生更深刻地理解平行线的判定方法一和基本性质。此外，我们还可以展现历史上平行线符号的演变过程，引导学生感悟数学文化。当然，我们也不能忽视以下教学目标：理解平行线的概念，渗透平面上两条直线位置关系的分类思想；会画已知直线的平行线，体会平行线的判定方法一和基本性质的应用。

一、历史材料梳理

（一）平行线及其判定的认识过程

“平行线的判定”是从实验几何向论证几何过渡的重要内容。人们对平行线及其判定的认识与几何学的发展密切相关，也有实验和论证两个维度。

在西方，“geometry”一词含有“测地术”的意思；在中国，“几何”一词也含有“多少”与“测地术”的意思——所以我国明末科学家徐光启（1562～1633）将“geometry”翻译成“几何学”（当然，也有“geo”与“几何”发音相近的原因）。这其实反映了最初的几何学知识来源于人类的生产生活实践。古代人民在征服大自然的过程中，逐步认识了各种几何形体，形成了各种几何概念，发现了各种几何规律和几何命题。各个文明古国都以实践为主，在几何学的一些领域取得了一定的成就。以古代中国为例，春秋战国时期，墨家学派创始人墨翟（约公元前478～公元前392）和其弟子共同完成《墨经》一书，在其中对一些直观的几何知识作了进一步的抽象，比如“平，同高也”，意思就是“距离处处相等的两条直线的关系是平行”，即用“距离处处相等”刻画平行。清朝康熙时期，梅瑴成主编的《御制数理精蕴》（简称《数理精蕴》）是一部包括了西方数学知识在内的数学百科全书，其中有这样的描述：“凡二线之间宽狭相离之分俱等，则此二线谓之并行线也。”翻译成现代文就是：如果两条直线之间的距离处处相等，那么这两条直线平行。与《墨经》中一样，这里也用“距离处处相等”刻画平行。

以实践为主所获得的几何知识基本是碎片化的，缺乏理论的系统性。古希腊是一个早慧、早熟的文明。古埃及的几何知识传入古希腊后，随着古希腊手工业、商业和造船业的发展，古希腊人逐渐感到那些碎片化、经验性的几何知识不够用了，需要系统性、理论化的几何知识来解决各种实际问题（以及满足强烈好奇心理）。在这种情况下，古希腊数学家欧几里得（Euclid，约公元前330～公元前275）创造了公理化方法，以论证的方式把当时西方所知道的几何知识加以整理，写成了《几何原本》，成为后世几何理论的范本。《几何原本》共13卷中的几何知识都是以第1卷中的5个公理和5个公设为基础的。其中的“第五公设”也被称作“平行公理”，即“一条直线与另外两条直线相交，若某一侧的两个内角和小于两直角，则这两条直线不断延长后在这一侧相交”。这说明了，由角的关系可以得到平行的位置关系，即用角的关系来刻画平行。从《几何原本》中可以看出，欧几里得对于直接承认“平行公理”似乎也不太满意，总是竭力避免或推迟应用它，但是最后还是不可避免地用到了它，不然平行线的理论就无法建立，几何学中的一系列论断也就缺乏理论基础。在欧几里得以后，许多数学家对“平行公理”仍然抱着怀疑的态度，总是企图从其他更“明显”的论断出发来推导它，但是最后都以失败告终。18世纪，苏格兰数学家、物理学家普莱菲尔（J.Playfair，1748～1819）发现了与“平行公理”等价、比“平行公理”通俗易懂的结论，即“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，并把它作为替代公理，得到了广泛的认同。直到19世纪，德国数学家高斯（C.F.Guass，1777～1855）、俄国数学家罗巴切夫斯基（Lobatchevsky，1793～1856）和匈牙利数学家亚诺什·鲍耶（J.Bolyai，1802～1860）才发现了“平行公理”是不可证明的（并且不约而同地用其他公理来代替“平行公理”，从而创造出非欧几何学）。

（二）平行线符号的演变过程

符号化是数学发展的重要基础，先进符号的采用是不可抗拒的历史选择，在很大程度上决定着数学的发展。古希腊数学家海伦（Heron，约1世纪）最早创用“OV”或“P”作为表示两条直线平行的符号。古希腊数学家帕普斯（Pappus，约300～350）看到海伦创用的平行线符号后，感觉不是特别满意，就将“OV”或“P”中的字母去掉，改用“=”来表示平行（有时也用“OL”来表示）。显然，平行线符号“=”是仿照两条直线平行的形象来创造的。可惜的是，这个符号没有被世人普遍认可。虽然17世纪一些法国数学家仍然用“=”表示平行，但是当时等号“=”已经被世人普遍接受，若再用它表示平行，会使数学符号出现混乱现象。1657年，英国数学家奥特雷德（W.Oughred，1574～1660）在《三角形》一书中首次将横躺着的“=”直立了起来，即用“∥”作为表示两条直线平行的符号。1685年，英国人卡斯韦尔（J.Kaswell，1655～1712）在著作中使用了这个平行线符号。之后，这个平行线符号就一直沿用至今。

二、教学设计与实施

（一）情境引入

学生在小学阶段接触过平行线。因此，本节课的引入以此为基础，从生活中的实例出发，抽象出平行线，并给出文字语言描述性定义；同时，引导学生对同一平面内两条不重合的直线的位置关系进行分类，为接下来的新知探究做准备——

师在我们周围的世界中到处可见平行线的形象，你能否说出一些身边的平行线形象？

生双杠。

生黑板边框。

生窗框。

师很好！谁能根据观察到的平行线形象，尝试用文字语言给出平行线的定义？

生不相交的两条直线叫作平行线。

师还有谁能补充一下？

生永远不相交的两条直线叫作平行线。

师还需要补充吗？

生同一平面内永远不相交的两条直线叫作平行线。

师很好！这就是平行线的文字语言描述性定义。同学们强调的“永远不相交”也体现了两条直线的无限延伸。那么在这种无限延伸的情况下，同一平面内两条不重合的直线可能有怎样的位置关系呢？

生垂直。

师这是什么位置关系的特殊情况？

生相交。

师还有别的位置关系吗？

生（不确定）平行吧。

师很好！同一平面内两条不重合的直线的位置关系就是相交和平行，其中相交又包括斜交和垂直。（稍停）其实，今天我们要研究的平行线有专门的符号表示，同学们想了解它的演变历史吗？

生想。

（教师播放微视频“平行线符号的历史”，学生观看。）

师通过这段微视频，同学们能用符号语言表示两条直线的相互平行关系吗？

生a∥b。

（二）新知探究

了解了平行线的文字语言描述性定义之后，学生需要探究这种无限延伸范围内的“永不相交”如何体现在平行线的实际画法和有效判定中。基于历史相似性，以《墨经》《数理精蕴》和《几何原本》中对平行线的判定（定义）方式为切入点，引导学生从“用距离刻画平行”到“用角刻画平行”的探究——

师大家都初步了解了平行线的形象，也知道了平行线的文字语言定义，但是，直线是无限延伸的，这里的形象和定义显然不能帮助我们画出和判断平行线。那么，老师给你一条已知直线，你怎样才能画出它的平行线呢？怎么才能判断它们平行呢？

（学生小组讨论。）

生（出示图1）在已知直线上取两点，过两点分别作垂线，然后分别在距离为1 cm处取点连线。

生（出示图2）在已知直线上取三点，过三点分别作垂线，然后在距离为1个单位处作垂线的垂线。

师这两位同学是用两条直线之间的距离相等来刻画平行的，与中国古代《墨经》中的“平，同高也”和《数理精蕴》中的“凡二线之间宽狭相离之分俱等，则此二线谓之并行线也”是完全一致的。如果穿越到那个时代，这两位同学都是“小小数学家”。（稍停）同学们再想一想我们前一节刚学习的“三线八角”，能不能考虑用角度关系来刻画平行关系呢？

（学生小组讨论。）

生（出示图3）我这样画可以吗？

师你是怎么画的？

生先画已知直线a的垂线，再画垂线的垂线b，b就是a的平行线。

师很好！其实，这种画法与古希腊数学家欧几里得的“一条直线与另外两条直线相交，若某一侧的两个内角和小于两直角，则这两条直线不断延长后在这一侧相交”思想有着相似之处：如果等于两直角，就不会相交。这位同学穿越到那个时代，也一定是一位“小小数学家”。实际上，欧几里得在《几何原本》中将这一结论作为最基本的、不证自明的公设（即公理或基本事实）之一。（稍停）除此之外，还有别的画法吗？

生（出示图4）按照前面距离的想法，我可以这样画吗？

师你是怎么画的？

生用三角尺的直角沿直尺上推1 cm，然后沿着边画一条直线。

师很好！那么说明两条直线平行的依据是什么？

生因为在推的过程中，三角尺的直角始终没有发生变化，所以可以说同位角都是直角，即是相等的。

师对的，很聪明！不过，这只是一种特殊情况。试想：用三角尺其余任意某个角和直尺能推出来吗？

生应该能。

师同学们试一试。

生（出示图5）我这样画可以吗？

师太棒了！接下来，老师在黑板上给同学们做个演示。（演示作图过程，如图6所示）通过大家的实践操作，可以探究出两条直线平行的判断方法一：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么這两直线平行。简单地说成：同位角相等，两直线平行。有了这个判定方法，同学们再思考一下：过直线a外一点P画直线a的平行线，可以画几条呢？

生一条。

师对的。这就是平行线的基本性质：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。这个结论与上述古希腊数学家欧几里得《几何原本》中的公设是等价的。显然，这个结论通俗易懂一些。因此，这个结论被苏格兰数学家、物理学家普莱菲尔作为替代公设，得到了广泛的认同。

（三）例题讲解

教师通过PPT展示如下教材例题，引导学生利用两条直线平行的判断方法一解决问题。

例题如图7，直线L与直线a、b、c分别相交，且∠1=∠2=∠3。

（1）从∠1=∠2可以得出哪两条直线平行？为什么？

（2）从∠1=∠3可以得出哪两条直线平行？为什么？

在此基础上，教师引导学生思考平行于同一直线的两条直线是否平行，得到平行线的传递性，并尝试简单地说理，为以后学习几何证明打下基础。

（四）“牛刀小试”

教师引导学生完成如下两道习题，巩固两条直线平行的判断方法一的应用以及几何证明的推理。

1.如图8，为了加固房屋，要在人字形屋架上加一根横梁DE，使得DE∥BC。如果∠ABC=29°，那么∠ADE应为多少度？

2.如图9，如果同一平面内的两条直线垂直于同一直线，那么这两条直线平行吗？

（1）写出结论：；

（2）根据图示，说明直线a与直线b平行的理由。

∵a⊥c（已知），

∴∠1=（垂直的意义）。

同理，∠2=（垂直的意义）。

得∠1=∠2（等量代换），

∴ab（）。

（五）课堂小结

教师引导学生总结本节课的知识要点：平行线的文字语言、图形语言、符号语言表示，平行线判定方法一，平行线的基本性质，平行线的传递性。然后，教师进行点评：“平行线从文字语言到符号语言经历了漫长的演变过程，了解其历史有助于我们理解平行线；平行线的判定方法一也是依据历史，从‘用距离刻画平行’到‘用角刻画平行’一步步探究而来的；平行线的基本性质也是通过数学家的努力，才以现在的通俗易懂的形式出现在课本上的；而有了前面这些知识，我们自然会通过简单的说理得到平行线的传递性。熟记这些知识点并灵活运用于解题固然重要，但是知识的探究过程以及来龙去脉也不能忽视。本节课中以数学史为引导的探究过程也是同学们以数学家的认知方式对知识进行‘再创造’的过程，可以加深对知识本身的理解。数学史上，所有知识的成熟都经历了漫长的发展历程。同学们学习知识的过程大致与知识发展的过程是类似的：由简单到复杂，由特殊到一般，由静态到动态。”

三、学生反馈

课后，我们对全班41名学生进行了问卷调查。结果显示：

92.7%的学生对本节课整体感觉好，其中18位学生对本节课整体感觉非常好，20位学生对本节课整体感觉良好；95.1%的学生喜欢融入数学史的教学方式，其中20位学生非常喜欢，19位学生喜欢；92.7%的学生认为融入数学史的教学对自己的学习有帮助，其中16位学生认为很有帮助，22位学生认为有些帮助。

关于本节课中印象最深的内容，学生的回答归类后按照频次高低依次为：（1）平行线符号历史的微视频；（2）平行线判定方法一的探究过程；（3）历史上数学家对平行线的不断研究。

关于本节课中相关数学史知识对学习的帮助和启示，学生的回答归类后按照频次高低依次为：（1）懂得了数学符号是一步步演变过来的；（2）更好地理解并认识数学了；（3）对数学有点兴趣了；（3）更加理解平行了。

回答“上完这节课后，你认为还有其他判定同一平面内两条直线平行的方法吗？为什么”这个问题时，有些同学已经可以自主探究推出后续的两个判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两直线平行。

课后，我们还对部分学生进行了访谈。访谈中学生提到：（1）第一次认识到平行线符号是慢慢演变而来的，而不是一下子表示出来的；（2）数学史中的平行线定义通俗易懂，像“平，同高也”，“凡二线之间宽狭相离之分俱等，则此二线谓之并行线也”都可以帮助我们加深对平行线的认识；（3）数学家很厉害，竟然把“平行公理”替代成“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”这么简单的话；（3）老师引导我们动手探究，使我们对“三线八角”印象更深。

四、结语

从学生课堂探究和课后反馈的情况来看，作为“平行线”的第一课，本节课的教学设计符合学生的认知过程，能够激发学生从无到有、从有到优的“再创造”兴趣，基本实现了拟定的教学目标，也为后面的学习打下了良好的基础。

本节课中，融入数学史的内容、方式与价值主要体现在如下方面：

基于学生对平行线的判定与《墨经》《数理精蕴》和《几何原本》对平行线的判定的历史相似性，从学生的已有认知出发，引导学生经历从“两条直线之间的距离处处相等”到“同位角相等”的探究过程，很自然地探究出平行线的判定方法一，同时明白平行线的判定定理是经过数学家们的不断努力，逐渐发展而来的，即采用重构式，体现“探究之乐”与“知识之谐”。而且，先用静态的距离判定平行，再上升到动态的推角，这种从易到难的方法体现了“方法之美”；先推三角尺的直角，再推三角尺的其余一般角，这种从特殊到一般的方法也体现了“方法之美”。

通过微视频展现历史上平行线符号的演变过程，引导学生感悟数学文化，即采用附加式，体现“文化之魅”。而且，通过自己对平行线的认识（从文字语言、图形语言到符号语言的过程）与数学史上数学家们对平行线的认识的对比，让学生身临其境，体会到穿越时空与数学家对话的感觉，培养了他们的自信心，体现了“德育之效”。

*本文系本刊连载的汪晓勤教授团队开发的HPM案例之一，也系西藏自治区高校青年教师创新支持计划项目“HPM优化西藏中小学数学课堂教学的研究”（编号：QCR2016-63）的系列研究成果之一。本文第一作者現就读于华东师范大学教师教育学院。

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