初中数学几何模型的教学误区与解决路径
时间：2023-02-16 09:30:09 来源：千叶帆 本文已影响人
郑兴民
（大田县教师进修学校，福建 三明 366100）
初中几何模型是教师在长期的教学实践中对具有一定相同特征的几何图形和问题的归纳，侧重对某一解题方法、技巧的模仿和迁移运用。由于初中的知识量有限，学生考试时遇到模型的可能性也较大。于是许多课堂设计常常以几何模型为主要线索，网课、公开课也以归纳几何模型为“高大上”课例。但对学习水平中等及偏下的学生，这种重模型的教学弊端明显。
弊端一、舍本求末，影响数学原理的学习
教学重模型而轻原理，导致学生根基不牢，反过来影响学好模型。如初学三角形全等，教师就抛出三角形全等的“公共边型”“公共角型”“8 字型”等模型，造成有的学生以“模型”判定全等，而不是依据概念和判定方法。
弊端二、模型泛化，影响学生学习的信心
“多、散、难、偏、繁”的模型泛化现象，造成几何课程“广而深”，加大了课程难度。学生总感觉有着学不完的模型，基础较弱的学生更是感觉学好几何无望，这也是数学成绩严重两极分化的原因之一。
弊端三、机械套用，影响分析思维的发展
初中学生对模型的学习偏向记忆，缺少内化。解题时机械套用模型，反而影响学生对几何问题分析方法和思维方法规律性的正确认知。
客观上，几何教学中过于关注和强调模型，容易陷入“学几何就是学模型”的教学误区，偏离几何学科培养学生空间观念和推理能力的素养要求。理论上，几何模型归纳应用的是列举的方法，而想做到完美而不遗漏的列举是不可能的。因此，探索一种教学策略，揭示几何问题的一般思维方法的规律性，有效帮助学生学好几何，成为教师必须思考的问题。
数学教育家傅种孙曾言：“几何之务不在知其然，而在知其所以然；
不在知其然，而在知何由以知其所以然！”通俗地阐明了几何教学的根本要求。
布鲁纳认知结构学习理论认为：在人类智慧生长期间，有三种表征系统在起作用，这就是“动作表征、肖像表征和符号表征”——即通过动作或行动、肖像或映像，以及各种符号来认识事物。在初中阶段，学习几何通常是通过直观感知、操作确认、度量计算、思辨论证等方法研究几何图形的形状、大小和位置关系的，那么几何图形就是影响学生个体对几何认知与获得的肖像表征，研究方法就是动作表征。
据此，笔者认为，培养学生认识图形特征和性质，掌握一般规律性的研究方法，才是符合学生认知规律的学习方法。在教学实践中，通过分析基本图形，融合基本方法，能够较好地揭示几何问题的分析思维方法的规律性，并有效克服重模型几何教学的弊端，取得较好的教学实效。
基本图形主要是指在教材中承载阐释数学概念、公理、定理及推论的最基本的典型图形。其次，把具有特定位置关系、或者反映重要数学规律的关系图形纳入基本图形范畴，如全等三角形的“轴对称型”（折叠）“中心对称型”“旋转型”等；
广义上，也延伸至一些在探究几何问题中产生的、体现几何思维发展与升华的方法图形，如解决典型问题“将军饮马”、表达图形等量关系的“蝴蝶型”等。
初中几何的基本方法在逻辑上主要是分析法和综合法，即准确运用概念、公理、定理及推论，经过一系列正确的计算推理，得出已知条件与结论之间的逻辑关联。教学中也常常归纳一些常用技能基本方法，使学生形成经验，实现再迁移，提升解题水平，如“截长补短”“作平行线转移比例”等；
常常归纳解决某一类型问题的方向性基本方法，如“几何计算有三宝，勾股相似和三角，还有面积不可少”等。
几何问题是以图形为研究对象的。研究可以发现，每个几何问题的图形几乎都是由一个或若干个基本图形构成，而问题本身就是由基本图形以及位置的转换组合而成的新的信息，这样解题过程就成为一个信息还原的过程。在教学中引导学生分析并找到组成问题图形的基本图形，运用基本图形的性质，再融合基本方法，就能够较好地完成信息还原，找出解决问题的路径。这种分析方法操作性较强，且有助于培养学生敏捷的思维和正确的判断，并且能够有效消除学生学习几何的畏惧心理，不失为一种解决长期困扰师生的几何难教、难学的教学策略。
在日常教学中，教师首先要有意识强化基本图形的概念；
研究和讨论每一个基本图形的图形特征、本质属性、生长点和延伸点；
再进一步探求每一个基本图形的应用条件和应用方法，最终形成基本图形的积累。如等腰三角形的概念及底角相等、“三线合一”等性质；
菱形、圆等图形中的等腰三角形；
线段的垂直平分线、一条线段绕端点旋转构成的等腰三角形等。
其次，有意识强化基本方法的渗透，让学生通过感受、体验、积累、反思、归纳，逐步掌握几何问题分析方法的规律性。
例如，在解决几何问题过程中，学生感觉最“难”最“神秘”的添加辅助线的方法，其基本规律可以用“对内分割，对外补形”八个字来形容，即把问题图形从内部分割成基本图形或者在外部补形完整呈现出基本图形。添加的过程决定于学生的技能储备。
例1.（典例）ΔABC 中，D 是AB 边上一点∠A=45°，∠BDC=60°，AD=1，DB=2，求∠B 的度数.
分析：根据已知条件和图形特征，过点B 作CD 的垂线BE，得出含60°角的特殊RtΔBED，通过计算发现DE=DA，于是再连接AE，又得出两个等腰三角形和含45°角特殊RtΔBEC。显然，辅助线的做法关键在于学生对直角三角形和等腰三角形关系的熟识程度。
例2.（2022 福建中考第24 题）已知△ABC≌△DEC，AB=AC，AB＞BC.
（1）如图，CB 平分∠ACD，求证：四边形ABDC 是菱形；
（3）如图，将（1）中的△CDE 点顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若∠BAD=∠BCD，求∠ADB 的度数.
分析：解决问题（3）的关键在于由∠BAD=∠BCD，以及CD=AB，可在AD 上取点M，使得AM=CB，连BM，将△ABD 分割成与△CDB 全等的△ABM 与等腰三角形△BMD。而辅助线的做法取决于学生对全等三角形关系图形的积累。
在日常教学中，通过分析寻找组成问题图形中的一个或若干个基本图形，再通过基本图形的性质来认识问题图形，往往可以找到解决问题的思路；
反过来，根据问题的条件和结论，寻找问题图形中隐藏的基本图形，再利用这些基本图形的性质，也常常可以发现解决问题的途径。在此过程中，因为充分衔接学生的知识基础和学习经验，更为契合学生的思维习惯，更易于使学生获得成功的体验。
对基本图形的分析运用在中考试卷的解答题、尤其是压轴题，常常能化繁为简，帮助学生理出清晰思路。课堂上学生思维活跃，自信心增强，课堂的效果、效率、效益明显提高。
例3.（2021 年福建省中考第24 题）如图，在正方形ABCD 中，E、F 为AB 边上的三等分点，连结DE，点A 关于DE 对称点为A"，连结AA"，并延长交BC 于点G，连结A"F、A"C、A"B.
（1）求证：DE∥A"F；
（2）求∠GA"B 的度数；
（3）求证：A"C=2A"B.
分析：（1）由点A 和A"关于DE 对称得出中点；
由△AGF 的中位线证得平行。
（2）由∠GA"F=∠GBF=90°，四边形A"FBG 是内接于直径为A"F 的圆；
等腰直角三角形△FBG 中∠GFB=45°得出∠GA"B=45°。
（3）由△DAE≌△ABG 得AE=BG，进而得到GC=2FB；
如果能够证明△A"FB∽△A"GC，就可以得出结论A"C=2A"B。进一步通过设参计算可以得证。
例4.如图，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=4，点M 为AB 边上一个动点，连接DM，过点M 作MN⊥MD，且MN=，连接DN.当AM=4BM 时，求证：A、C、N 三点在同一条直线上.
这是笔者改编的一道模拟中考压轴题，实测难度0.1，学生的表现令教师困惑。其实学生如果能从局部特征观察出命题立意为“一线三垂直”（基本图形），就不难画出辅助线，问题就迎刃而解了。
一个几何问题常常是在一个具有某种特征和性质的“基本图形”上演绎而来的，在教学实践中笔者把这个特殊的“基本图形”称为“母图”。教学中引导学生追根溯源，用好“母图”的特征和蕴含的性质，认识问题本质，找到解决问题的途径，称之为“母图”策略。这实际上是分析基本图形融合基本方法策略的迁移。如在前面的中考例题，它的母图可以视作正方形内部的十字垂直模型，易知ΔDAE≌ΔABG，进而AE=BG，BG=，压轴问题A"C=2A"B 的证明思路就跃然纸上了。
例5.在ΔABC 中，AD 是BC 边上的高，∠BAC=45°，BD=2，CD=3，求AD 的长.
分析：这是一道经典初中几何题，只要抓住它是母图“正方形”的一部分，通过“折叠”还原出母图，即“对外补形”，再运用勾股定理问题就迎刃而解了。
例6.定义：我们把圆心在△ABC的边上，与△ABC的一边相切，且经过△ABC 的一个顶点（非切点）的圆叫做△ABC 的伴切圆.
已知在△ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝12，⊙P 是△ABC 的伴切圆，且点P 在AC 上，求PC 的长。
分析：这种新概念学习型中考题，考查学生的知识迁移发展能力，让很多学生感到“心虚”。教学中只要剖析产生新概念的“基本图形”即“母图”的特征，就可以帮助学生透过复杂的表象，理清解题思路。
本题只要抓住“母图”——等腰△ABC 及高线：PC 的两种情形通过比例关系即可求出。
学之道，在于悟；
教之道，在于度。度，不仅是一个量的界限，更有“渡”的含义。教学中应用基本图形分析几何问题的方法，不仅帮助学生巩固基本原理，有效培养学生思维能力，而且有助于学生领悟数学思想方法，因此，分析基本图形，融合基本方法，将成为提升学生几何解题能力的教学“主基调”。
