牵手函数同构,拨开解题迷雾——以指数、对数函数同构问题为例
时间：2023-02-23 09:10:07 来源：千叶帆 本文已影响人
福建省南平市高级中学（353000）叶 燕
构造函数一向备受命题者的青睐，其中函数同构问题更成为近几年的高考命题热点，值得教师关注。2020年山东高考卷数学第21题把函数不等式恒成立与函数同构巧妙对接，成为函数同构的标志性试题，掀起的高潮延续至今。
函数同构一般是对题干中的方程、不等式做合理变形，使得方程或不等式两边呈现出相同的结构，然后根据相同结构构造函数f(x)，并判断函数f(x)的单调性，最后利用函数f(x)的单调性求解。运用函数同构思想解题，能极大地优化解题过程，但并非所有的导数综合题都能运用函数同构解答。
那么，如何识别哪些题型适合运用函数同构来解题呢？又怎样才能更好地运用函数同构解题呢？归类解析就是一种好办法。为此，本文着重对指、对数函数的同构问题进行归类解析。
当题干或问题同时包含有ex和lnx的结构特征时，可考虑函数同构。对于指数、对数函数同构，多数可归为如下五种情形。
［例3］若不等式xm(ex+x) ≤emx+mxm(x−lnx)恒成立，则实数m的取值范围是___________。
解：因为x>0，所以原不等式等价于ex+x≤+mx−mlnx，即ex+x≤emx−mlnx+(mx−mlnx)恒成立。
［例5］已知函数f(x)=x(ex+1)，g(x)=(x+1)lnx，则下列结论正确的是（ ）。
解：仅对D选项进行分析。
∵g(x2)=(x2+1)lnx2=(elnx2+1)lnx2=f(lnx2)，
∴f(x1)=g(x2)=t(t>0)，
∴f(x1)=f(lnx2)=t，可得x1>0，x2>1，
［例6］实数x1，x2满足x1ex1=e3，x2(lnx2−2)=e5则x1x2=__________。
当x∈(−2,−1)时，h′(x) >0，h(x)单调递增，
当x∈(−1,+∞)时，h′(x) <0，h(x)单调递减，
∵lna>h(x)max=h(−1)=1，∴a>e。
解法2：因为a>0，所以由f(x)=−2 >0(x>−2)，可得ex+lna+lna>ln(x+2)+2，两边加 上x，则ex+lna+(x+lna) >(x+2)+ln(x+2)=eln(x+2)+ln(x+2)，
设g(x)=ex+x，则g(x+lna) >g[ln(x+2) ]，∵g(x)=ex+x单调递增，∴x+lna>ln(x+2)，即lna>ln(x+2) −x，
当x∈(−2,−1)时，h′(x) >0，h(x)单调递增，
当x∈(−1,+∞)时，h′(x) <0，h(x)单调递减，
∵lna>h(x)max=h(−1)=1，∴a>e。
上述题目若按常规解法处理，将迷雾重重，相当棘手，而运用函数同构思想解决，则可拨云见日，柳暗花明。
在运用函数同构时，应当明确：
第一，先把相同变量放在同一边，再由内向外同构。对内同构，即通过合理变形实现左、右两边各自内部同构，这是同构的重点，也是难点。在例4 的分析中，方程左边两处经过变形匹配出的“2x+a”，即方程左边的内部同构，方程右边两处经过变形匹配出的“lnx”，即方程右边的内部同构。内部同构一旦完成，对外同构就自然生成。
第二，充分发挥恒等式“x=elnx和x=ln ex”在同构转化中的桥梁作用。同构的基本变形方法有两种：（1）变形为指数；
（2）变形为对数。而具体的同构式，因变形的组合不同，可以有多种，如：
设a，b都为正数，若aea+1+b A.ab>e B.b>ea+1C.ab 解：把相同变量放在同一边，一边一个，得 第三，同构的相互转化。同构函数f(x)=xex和同构函数g(x)=xlnx可以相互转化； 在上述题目中，指数、对数函数唱戏，幂函数搭台。下面分析一道幂函数、指数函数、对数函数、三角函数齐聚一堂的“恐怖题”，以再次感受运用同构思想解题之神奇魅力。
同构函数f(x)=ex+x和同构函数g(x)=x+lnx也可以相互转化。而例6和例7的两种解法，给了最直观的说明。
