机械结合面法向接触刚度三维分形理论模型*
时间：2023-03-23 12:55:04 来源：千叶帆 本文已影响人
李声祺，兰国生，李 祥，冀成龙，杨 琦，李 勇
(太原科技大学机械工程学院，太原 030024)
机械结构中的结合面很多，破坏了机械结构或机械系统的连贯性，使得机械结构的力学特性进一步复杂化。为了确保机械结构或机械系统的良好稳定性、可靠性和安全性，需要对其进行合理有效地设计与制造。在机械加工过程中，要考虑到许多因素。其中就包括结合面处的连接方式。机械结构整体刚度的重要组成部分就包括结合面的接触刚度，一般来讲机床结合面的接触刚度约占机床整体刚度的60%～80%[1]。然而，结合面的接触刚度对加工精度和其他性能指标会产生较大影响。
在结合面的法向刚度研究这一方面，张学良等[2]根据分形理论和微凸体间接触的基础理论，建立了具备尺度独立性的粗糙表面上法向接触刚度模型，温淑花等[3]则是构建了考虑微凸体之间相互作用并且在域扩展因子影响下的接触刚度模型。陈虹旭等[4]构建的刚度模型是根据改进的分形理论，在分析了接触变形问题后对赫兹接触理论模型做了进一步的改进所得到，并且同时讨论了分形维数和法向接触刚度的关系，遗憾的是在刚度计算过程中忽略了塑性和弹塑性变形的影响。兰国生等[5]提出了一种改进的模型，以便更充分地表明诸如法向载荷、法向接触刚度和结合面分形维数等关键因素之间的关系，随后的研究人员对接触刚度模型进行了更详细的研究[6-8]，可惜的是忽视了微凸体的弹塑性变化过程中的影响，仅顾及了塑性变形与弹性变形。何联格等[9]讨论了依次增加法向载荷后的微凸体在弹塑性过渡过程中的变形机理，采用分形理论研究并顾及了微凸体弹塑性过渡变形机理，构建了结合面上法向接触的刚度分型模型，并研究了塑性指数、无量纲分型特征尺度系数等各种因素对法向接触刚度的影响。然而，该模型的不足之处是理论计算弹塑性变形机制，不能真实反映这一阶段的规律，与KOGUT等[10]研究结果存在一定的误差。李玲等[11]在KOGUT等[10]的研究基础之上，又构建了弹塑性统计学模型。李小彭等[12]也考虑了微凸体的弹塑性变形过程中产生的影响，在此基础上利用改进的Weierstrass-Mandelbrot函数构建了法向刚度三维分形模型，潘五九等[13]建立的切向接触刚度模型考虑并应用了微凸体之间的三维形貌的W-M 函数，在张学良等[14]研究中刚度模型则是基于分布域扩展因子函数建立的，但他们都没有考虑弹塑性变过程中接触刚度和载荷以及接触面积之间的相应关系。田红亮等[15]通过运用分形理论架构了微凸体结合面的接触校对模型，但在计算过程中得到的弹性接触刚度与实际单一微凸体上的法向刚度还是有点出入。李小彭等[12]研究成果和JIANG等[16]的研究也有着同样的缺陷。
为此，本文将结合面上相互接触的点延伸为椭圆形，并以基本分型理论作为基础，求解思路上以极限求解的形式修正了单一微凸体的法向刚度。在KOGUT等[10]相关研究方法的基础上，所建模型在运用分形理论的基础上，对弹塑性变形过程中的计算方法进行合理有效的改进，并在这一阶段中着重讨论了单一微凸体法向接触载荷、接触刚度和接触面积间的关系。再通过把预测值与实验数据作对比，更加证实了所建模型能对固定结合面的静刚度做出较好地预测。
在直角坐标系中三维各向异性粗糙表面上带有随机相位的双变量W-M函数的表达式[17]为：
(1)
当γ=1.5，M=8，φm,n=0，G=1.36×10-5μm时，式(1)仿真各向异性表面如图1所示。当M=1，m=1，双自变量W-M函数将退化为：
(a) D=2.2 (b) D=2.6
(c) D=2.9图1 各向异性分形粗糙表面
(2)
机械结合面有2个粗糙面组成，通常认为是粗糙表面和刚性平面之间的相互接触。假设垂直于接触面表面微观纹理的地方具有分形的相应特点，但仅指含有分形特性的表面。将粗糙表面上的微凸体的形状想象成一个椭圆的形状，想象成椭圆的好处就是可以忽略它的方位对结合面整体的法向接触刚度和载荷所产生的影响，所以可以认为在假设过程中的椭圆的长轴与粗糙表面上微观纹路的方向大体上是一样的。
2.1 微凸体弹性变形阶段
如图2所示，表示的是结合面上微凸体和刚性平面之间相互前后接触的变形示意图，在微凸体处于弹性变形过程中，接触面积s、接触载荷pe和变形量δ之间的关系如下：
图2 理想刚性平面与微凸体接触
s=πRmδf1(e)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
2.2 微凸体弹塑性接触变形阶段
微凸体的弹性临界变形量[18]：
(9)
当δc≤δ≤6δc时，
(10)
(11)
当6δc≤δ≤110δc时，
(12)
(13)
2.3 微凸体的塑性变形阶段
微凸体处于完全塑性变形的时候，接触载荷和接触面积的关系有：
sp=s
(14)
pp=Hs
(15)
结合面上面积大小分布密度函数为：
(16)
(17)
微凸体的变形量δ为：
(18)
(19)
3.1 微凸体弹性接触变形阶段的法向刚度改进算法
如图3所示表示微凸体已发生形态变化的轮廓，变形量和接触面积在接触面积是s时，二者之间的关系为[20]：
图3 微凸体的变形轮廓
(20)
(21)
当接触面积为s时，则法向接触刚度为：
(22)
根据上述式子可知经过修正法得到的微凸体法向接触刚度与经典的弹性赫兹理论相一致，也就是和式(4)求导后的结果相同。根据式(3)和式(22)可知，当接触载荷面积为s时，弹性接触阶段的法向接触刚度有：
(23)
通过式(3)、式(4)和式(17)即可算出在接触面积是s时的法向接触载荷：
(24)
3.2 微凸体处在弹塑性过程中法向刚度与载荷的改进运算
3.2.1 微凸体弹塑性第一阶段中的法向载荷运算
将式(10)代入到式(11)可得：
(25)
将式(9)、式(17)和式(18)代到式(25)可得微凸体弹塑性一区的法向接触载荷表达式：
(26)
需要注意的是在文献[10]中构建的分形模型都没有把接触面积和法向载荷二者之间的关系进行进一步深入的研究。本文顾及了接触面积和法向载荷二者之间的影响，根据式(25)即可得到弹塑性变形过程中第一阶段的法向载荷。
3.2.2 弹塑性变形第一阶段的法向刚度的运算
根据式(11)可得：
(27)
将式(10)代入式(11)中可得：
(28)
进一步可以根据式(9)、式(17)和式(18)可以得到弹塑性一区接触刚度分形式为：
(29)
通过文献[10]中没有顾及到单一微凸体处在弹塑性变形过程中法向刚度和接触面积二者之间的关系，但在这里二者都考虑到了。通过式(28)就可以获得第一阶段的法向接触刚度。
3.2.3 弹塑性变形第二阶段中法向刚度和载荷的运算
弹塑性变形第二阶段中法向刚度和载荷的计算过程同第一阶段的计算过程相对来说比较类似。将式(9)、式(12)、式(17)和式(18)代入式(13)，经计算后得到弹塑性第二阶段的法向载荷：
(30)
根据式(9)、式(12)、式(13)、式(17)和式(18)可以得到弹塑性变形第二阶段的法向刚度：
(31)
结合面的真实接触面积包含3大变形过程：弹性接触变形、弹塑性接触变形的第一第二阶段和完全塑性变形阶段的真实面积，通过求和可以得到结合面真实接触面积为：
(32)
将式(16)代入式(32)中得：
(33)
结合面的总法向接触刚度为：
(34)
将式(16)、式(23)、式(29)和式(31)代入式(34)可得：
(35)
结合面的法向总载荷为：
(36)
将式(15)、式(16)、式(24)、式(25)和式(30)代入式(36)得：
(37)
无量纲化结合面总法向接触刚度：
(38)
无量纲化法向接触总载荷：
(39)
如图4所示为无量纲法向接触载荷和无量纲法向接触刚度之间的关系。
(a) D=2.1 (b) D=2.2 (c) D=2.3
(d) D=2.4 (e) D=2.5 (f) D=2.6
(g) D=2.7 (h) D=2.8 (i) D=2.9图4 对的影响(φ=1.5，G*=1×10-10)
如图5所示为塑性指数φ和法向接触刚度之间的关系。
(a) D=2.3 (b) D=2.8图5 φ对的影响(G*=1×10-10)
(a) D=2.3 (b) D=2.8图6 G*对的影响(G*=1×10-10)
运用文献[22]中的实验进行验证。上下两个接触的粗糙表面使用的实验材料都是灰铸铁，两接触面之间没有润滑介质的存在，材料的弹性模量E1=E2=100 GPa，泊松比v1=v2=0.25，材料硬度H1=H2=231 MPa。表1、表2依次描述了不同试样的基本分形参数和等效粗糙表面的基本分形参数。
表1 不同试样的基本分形参数
表2 等效粗糙表面的基本分形参数
图7为配合接触对1与配合接触对2的理论数值和实验数据的对比结果。
(a) 结合面1理论和实验刚度值 (b) 结合面2理论和实验刚度值图7 模型与实验数据对比
可以看出，模型的实验数据值与理论数据值的走向趋势整体相同，而就JZZ模型[16]而言，所建立模型的理论值更接近实验值，且增加了结合面的接触刚度预测的精准度。粗糙表面的法向接触刚度与粗糙度有着密切的联系，但是表面粗糙度会因为工件加工方法的不同而产生一定的差异，所以，对粗糙表面接触特性产生影响的因素其中就有加工方式，则在建立数学模型时可以根据实际情况选择合适的材料或刀具来实现对表面形貌的精确控制。分形参数和尺度参数二者比传统的粗糙度参数具有更加简洁和直观的特点，同时又保持了分形多尺度测量的优点。由于模型没有考虑微凸体间的相互作用和摩擦因素，会产生一些偏差，所以亟待进一步的修缮。
(1)结合面表面的光滑度随着分形维数的增大表现得越光滑，但是对于结合面接触刚度的作用体现却不一定很好，所以适当大小的分形维数对结合面的法向接触刚度具有良好的改善作用。
(2)法向载荷为定值时，结合面的法向接触刚度随着分型粗糙度参数的增大而增大，所以为了保持良好的结合面接触刚度可以适当地减小分型粗糙度。
(3)由于所构建的模型在研究过程中忽略了结合面之间存在的润滑介质所产生的影响，所以该模型在考虑含有润滑介质的情况下不适合使用。
(4)本文模型中的理论预测值和实验数值的趋势走向一致，证明了理论改进算法的合理性。再者，所构建的分形模型也能够更准确地预测法向接触刚度，有助于对结合面的刚度动态特性做进一步的研究。
猜你喜欢 将式弹塑性法向 AKNS方程的三线性型及周期孤立波解哈尔滨商业大学学报（自然科学版）(2022年4期)2022-08-18落石法向恢复系数的多因素联合影响研究水文地质工程地质(2022年2期)2022-04-13如何零成本实现硬表面细节？电脑报(2021年25期)2021-08-27矮塔斜拉桥弹塑性地震响应分析山东交通科技(2020年1期)2020-07-24因子von Neumann代数上非线性*-Lie导子的刻画吉林大学学报（理学版）(2020年3期)2020-05-29单自由度系统三峡大学学报(自然科学版)(2019年5期)2019-10-17一类非线性偏微分方程的n-孤子解沈阳师范大学学报(自然科学版)(2019年3期)2019-07-04弹塑性分析在超高层结构设计中的应用研究江西建材(2018年4期)2018-04-10编队卫星法向机动的切向耦合效应补偿方法北京航空航天大学学报(2017年6期)2017-11-23考虑变摩擦系数的轮轨系统滑动接触热弹塑性应力分析中国铁道科学(2015年5期)2015-06-21 相关热词搜索：刚度，模型，接触，
