浅谈动点轨迹之隐圆问题
时间:2023-03-23 19:05:04 来源:千叶帆 本文已影响人
张晓会
(广东省中山市第一中学 528400)
下面以近两年的中考题为例,浅谈动点轨迹的隐圆问题.
例1(2020广东)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图1,∠ABC=90°,点M,N分别在射线BA,BC上,MN长度始终保持不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为____.
图1 图2
变式练习1例1中条件不变,求点E的运动路径的长度.
例2(2021广东)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3,点D为平面上一个动点,∠ADB=45°,则线段CD长度的最小值为____.
图3 图4 图5 图6
变式练习2 例2中条件不变,求线段CD长度的最大值为____.
变式练习3 已知点E在等边ΔABC内部运动,∠AEB=150°,若AB=1,则点E的运动路径长度为____.
图7 图8 图9
变式练习4 已知AB=3,C为平面内一点,且满足∠ACB=120°,则点C到AB的最大距离为____.
知识拓展由特殊到一般,可将变式练习4中的条件放宽为:已知线段AB=a,动点P为平面内一点,满足∠APB=α,则可构造出P点运动轨迹所在的圆弧(记圆心为O),圆心O在AB的垂直平分线上, 圆心角∠AOB=2α(比如,α=90°时如图10;
α=45°时如图5;
α=150°时如图7),然后可求出点P的运动轨迹长度,以及相应线段的最值问题.不难发现:当α为直角时,动点P的运动轨迹是一个圆(如图10);
当α为锐角时,动点P的运动轨迹是两段对称的优弧(如图11);
当α为钝角时,动点P的运动轨迹是两段对称的劣弧(如图12).
图10 图11 图12
例3如图13所示,△ABC中,AH是高,AT是角平分线,且TD⊥AB,垂足为点D,TE⊥AC,垂足为点E.求证:∠AHD=∠AHE.
图13 图14
解析由已知结合四边形内角和可得∠BAC+∠DTE=180°,即有四边形ADTE对角互补,所以A,D,T,E四点共圆,且AT是直径,进而得出H也在此圆上,如图14,原问题即转化为证两个圆周角相等.
图15 图16
例4如图17,在△ABC中,AB=AC,任意延长CA到点P,再延长AB到点Q,使AP=BQ,求证:△ABC的外心O与A、P、Q四点共圆.
图17 图18
解析由已知可得PC=AQ,如图18,连接OA,OC,OP,OQ,有OA=OC,所以∠OCA=∠OAC=∠QAO,进而可证△OCP≌△OAQ,所以∠CPO=∠AQO,而∠CPO与∠AQO均为固定线段AO所对的角,所以O与A、P、Q四点共圆.
变式练习6 如图19,点O是△ABC的外心,∠BAC=60°,BD和CE是△ABC的高且交于点H,在BD上截取BM=CH.(1)求证:∠BOC=∠BHC;
(2)求证:△BOM≌△COH.
图19 图20
解析(1)由圆的性质有∠BOC=2∠BAC=120°,由四边形内角和有 ∠BHC=∠EHD=360°-∠AEC-∠ADB-∠BAC=120°,所以∠BOC=∠BHC.
(2)类似于例4,∠BOC与∠BHC均为固定线段BC所对的角,且∠BOC=∠BHC,所以B、C、H、O四点共圆(如图20),因此∠OBH=∠OCH,所以△BOM≌△COH(SAS).
与动点隐圆轨迹相关的证明题还有很多,也有不少题目的解题方法比较巧妙,这里不一一列举.通过以上几个中考题以及变式的分析,不难发现动点轨迹的隐圆问题,从本质上来讲,就是对与圆的定义以及相关性质的灵活运用,可以将其归纳为四类:(1)从定义出发,定点、定长得定圆弧;
(2)从弦与圆心角、圆周角性质出发:定弦定角得定圆弧;
(3)四边形内对角分别互补,则该四边形的四个顶点共圆;
(4)同一固定线段所对的角相等,则该线段两个端点和其所对等角的顶点共圆.
动点对学生的综合能力要求比较高,题目中 “不动”的条件尤为重要,需要学生以此为出发点,快速地在自己的知识体系中检索出与之相关的知识点,进行发散思维,并快速推导出相应结论.所以在平时教学中,教师要有意识地引导学生加深对课本定义以及性质的理解,要注重知识的生成过程,强化学生对于性质、定理的灵活运用,并在学生熟练掌握的基础上,培养学生发散性思维和基本的构图能力.
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