基于振动台试验的加速度积分位移
时间：2023-04-08 11:45:03 来源：千叶帆 本文已影响人
郭翔鹰， 李长坤， 陈春雷， 韩 志， 梁志明
(1.北京工业大学材料与制造学部机械结构非线性振动与强度北京市重点实验室， 北京 100124；
2.中国铁道科学研究院集团有限公司基础设施检测研究所， 北京 100081)
轨道几何检测系统是检测轨道不平顺的重要设备，在实际动态检测过程中，车辆的振动和构架的运动姿态会对其所载的检测系统的检测精度造成一定的影响[1-2]. 因此，需要对检测车辆运行过程中的构架姿态进行研究，测量并重构构架的运行姿态，从而评价检测系统性能，提高检测系统精度. 目前测量结构的位移大多是通过测量结构加速度数据转化获取振动位移响应[3]. 但在实际采集加速度信号过程中，常常伴有各种噪声的干扰，会出现由低频噪声引起的趋势项干扰或漂移误差，并随着时间的积累对正确结果产生严重偏置，使位移结果完全失真[4-5]. 因此，如何减少加速度积分中趋势项漂移误差和高频噪声误差的干扰一直是国内外学者研究的主要问题.
目前，加速度积分主要采用时域积分法和频域积分法，其中时域积分需要有效地拟合趋势项对结果的影响来消除积分误差，而通过快速傅里叶变换(FFT)和快速傅里叶逆变换(IFFT)能有效抑制一些积分误差，成为经典的频域积分方法. 陈太聪等[6]根据频谱累积能量曲线拟合函数参数来提取主要积分频段信息，提高了积分精度和抗噪性. 张志等[7]提出利用经验模态分解(EMD)方法消除趋势项干扰，但依赖最小截止频率的选取. Lee等[8]提出了一种适用于低频主导结构的加速度积分位移方案，引入了重叠时间窗来提高重建位移精度和抑制低频噪声，但当目标频率设置比较低时，在频域内容易发生振荡. Hong等[9]提出了两种基于测量加速度信号的有限脉冲响应(FIR)滤波器来重建动态位移，但低频噪声对积分精度的影响难以控制. Park等[10]将FEM-FIR滤波器用于对弹性固体的实测动态加速度积分位移及降噪，并且用于系统辨识等问题. Brandt等[11]提出了用低频截止算法对测量加速度进行位移重建，首先对加速度信号进行FFT，然后将含噪声加速度频率范围内振幅的低频部分直接置零，根据加速度谱、速度谱和位移谱的比例关系得到位移的时域波形. Zhu等[3]根据低频截止算法，提出了低频衰减算法，该算法依赖于目标频率的选择.
基于以上文献，发现相对于时域积分去趋势项的方法，频域积分避免了误差的累积，但目前频域积分大部分为舍弃低频部分来减少漂移误差，会造成有用低频信号的丢失. 本文采用频域积分法，根据低频衰减算法提出了一种基于滑动平均的低频衰减频域积分重构位移算法，能够在最大程度保留低频信息的同时，有效抑制实际测量过程中噪声的影响. 该方法首先对加速度信号进行预处理，包括去噪、平滑以及滤波，来去除低频噪声影响，然后在频域内积分，避免了频域振荡的发生. 利用标准正弦信号和加噪声的正弦信号对所提算法进行数值模拟验证，同时引入误差图判定积分位移的准确度. 最后，通过搭建实验平台，对本文提出的算法进行验证，并结合工程实例进行了应用特性研究.
1.1 测量加速度的数学模型
对于车体构架姿态分析，需要将测量的加速度数据积分为位移数据，但在实际测量中，得到的加速度信号不可避免地会存在干扰项，包括随机干扰和直流分量. 随机干扰是随时间变化的量，可以认为是时间的函数，直流分量是加速度计在温度、气压等环境因素影响下而产生的相对于基线的漂移[12]. 因此实际测量的加速度可以表示为
a(t)=as(t)+an(t)+C
(1)
式中：as(t)为实测加速度的结构信息；
an(t)为测量加速度的随机干扰部分；
C为测量加速度的直流分量.通常，对加速度二次积分得到结构位移信号，如果考虑初始速度和初始位移的影响，可写为
(2)
上述得到的位移可分为3个部分:
(3)
第1部分表示结构的真实位移；
第2部分是环境噪声和仪器测量误差的影响，相对于真实位移较小，可通过多次平滑和滤波去除；
第3部分由直流分量、初始条件和积分常数项所组成，称为漂移项，可通过减去平均值及最小二乘法拟合多项式去除.下面主要分析第2部分和第3部分的去除方法，保留真实结构位移.
1.2 消除趋势项和去噪
由于采集到的振动信号数据往往叠加噪声信号，噪声信号中除了工频干扰信号外，还有不规则的随机干扰信号，随机干扰部分高频成分占很大比例，需要对加速度信号平滑处理.
常用的消除趋势项干扰的方法是利用多项式拟合的最小二乘法[13-14]，相对于递归最小二乘的基线校正技术，本文利用一种最小二乘法的滑动平均方法与滤波器相结合，通过多次平滑、滤波和积分，有效消除测量数据中的随机起伏干扰，减小随机性误差的影响，由于在积分位移中，高频成分不会对位移结果产生影响，因此可以得到结构真实的位移结果.
首先最小二乘法的滑动平均法中存在m次多项式函数为[15]
Y(t)=a0+a1t+a2t2+…+amtm
(4)
通过最小二乘原理，使平滑后的数据以最小均方差逼近原始数据，令
(5)
为了确定各待定系数，使得函数Y(t)与离散数据的误差平方和为最小，将式(5)分别对ak(k=0,1,…，m)求偏导数，并使偏导数为零，得到m+1元线性方程组为
(6)
式中：u为滑动阶次；
m为平滑次数.例如当u=2、m=3时，令k分别为0、1、2，得到5个节点，次数为3次，带入得到5点3次平滑法的计算公式.滑动平均法基于此原理能够有效去除噪声的干扰.如图1(a) 所示为一标准正弦叠加信号加0.8倍程的随机噪声和漂移项的时程曲线.用上述滑动平均法和多项式拟合趋势项能在去除随机噪声同时去除趋势项，得到的信号结果如图1(b)所示.
图1 加噪声信号与去噪声信号对比Fig.1 Comparison of noise added signal and de-noising signal
1.3 数字滤波及频域积分
上述滑动平均法通过多次校正可以有效消除高频干扰所造成的随机起伏，但趋势项一般由低频噪声引起.因此，采用下面低频衰减的高通滤波器能去除低频噪声对位移结果的影响.由于实际采样信号是离散形式，频域积分一般采用FFT的离散算法：
(7)
式中：N为采样数据个数；
x(r)为N点采样序列信号；
X(k)为其离散频谱.
使用FFT代替积分来避免小误差的累积和放大，加速度序列其FFT的频谱[3]可以表示为
(8)
式中：a(r)为一个采样数据个数为N的加速度序列；
a(k)为a(r)经过FFT后在频域的复序列.a(k)表示为
a(k)=Akcos(2πfkt+φk)
(9)
则位移s(k)表示为
(10)
结构位移可以累加表示为
(11)
因此，频域积分方法用FFT和IFFT表示为[3]
(12)
低频衰减方法可通过设置目标频率，引入目标精度系数，在消除低频趋势干扰的情况下，最大限度地保留目标频率附近的成分.低频衰减算法的积分公式[3]为
(13)
其中
(14)
式中：δ为正则化系数，用于控制被测加速度的趋势项误差；
α为目标精度系数；
ft为目标频率.
低频衰减算法相当于设置了高通滤波器，设置目标频率为2 Hz，该滤波器的幅频响应特性如图2所示.在高频段，传递函数幅值趋近于1，在低频段，随着频率的减小，幅值迅速趋近于0，因此该高通滤波器可以有效保留目标频率附近的信息，同时衰减低频信息.本文研究过程中的分析目标精度系数均取0.95，实现在目标频率设置较小时，也能保证较好的积分精度.
图2 低频衰减滤波器的频率特性Fig.2 Frequency characteristics of the low frequency attenuation filter
本文利用FFT的低频衰减算法并结合滑动平均法去除噪声和趋势项的干扰，能有效积分位移结果.基于上述考虑，给出了一种加速度积分方案，流程图如图3所示.
1) 加速度信号文件导入和预处理；
2) 绘制加速度时程曲线；
3) 加速度前处理：平滑和初始滤波，去除漂移项和去噪声处理；
4) 利用FFT计算加速度信号双侧频谱和偶数信号长度计算加速度信号单侧频谱；
5) 低频衰减频域积分以及IFFT；
6) 计算积分位移信号双侧频谱，基于双侧频谱和信号长度计算位移信号单侧频谱；
7) 绘制位移时程曲线.
图3 加速度积分位移流程图Fig.3 Flow chart of acceleration integral displacement
下面通过正弦叠加信号来验证算法的有效性，模拟的正弦信号由3个频率分量叠加而成，分别为10、15和20 Hz，加速度幅值分别为10、20以及30 m/s2.取离散信号序列的采样频率为1 000 Hz，加速度信号表示为
a(t)=10sin(20πt)+20sin(30πt)+30sin(40πt)
(15)
理论上的位移信号为
(16)
对上述加速度信号积分2次得到位移信号，并与标准位移信号作对比，如图4(a)所示，可以看出由于积分端点值不确定以及截断误差的影响，在最初的0.2 s误差较大，之后的整个时间段内积分与标准位移信号拟合程度较好.然后，对1.175～1.190 s区间内的位移信号局部放大，如图4(b)所示，可以看出积分位移信号与标准位移信号频率大小相同，波形相似，只是幅值略有差异.对上述积分位移信号做FFT，得到如图4(c)所示的频谱图，发现位移信号与加速度信号频谱成分也相同，存在3个主要频率成分为10、15及20 Hz，但位移信号在小于10 Hz处存在干扰，对其幅值有一定的影响.
下面，引入积分误差评价指标，使误差图上的每个点为各个采样点上积分位移与标准位移的差与标准位移的比值，反映了积分位移的可信程度，为相对误差.所定义的误差旨在研究每点的积分准确度，从而客观评价积分位移波形与标准位移波形的相似度[16].误差图定义为
(17)
式中：d(ti)为在时间ti上的标准位移；
y(ti)为在时间ti上的积分位移值；
range(d)为标准位移在整个时间段上的极差，大小为标准位移最大值和最小值的差.
位移信号误差图如图4(d)所示，最初的0.2 s误差较大，从0.2 s开始，误差均维持在0.02以下，证明积分效果良好.
图4 积分位移结果与误差Fig.4 Integrated results displacement, and the errors
考虑随机干扰对积分结果的影响，在原始加速度信号中分别加信噪比(SNR)为5、10、20 dB的高斯白噪声，不同信噪比的情况下积分的位移结果如图5(a)所示，可以看出添加白噪声后的积分位移仍保持较高的精度.同样取1.175～1.190 s区间内的位移局部放大图，如图5(b)所示，发现添加不同白噪声只是影响位移幅值的大小.误差图如图5(c)所示，信噪比为5 dB时，对位移结果产生一定影响，随着信噪比的增加，误差减小，信噪比为10 dB时，误差保持在0.02之内.对SNR为5 dB的加速度信号做FFT，频谱图如图5(d)所示，可以看出添加高斯白噪声后，虽然存在幅值比较小的干扰频率成分，但对积分位移整体结果影响不大.
图5 不同信噪比情况下信号的位移结果与误差Fig.5 Integrated results displacement plus white noise with different SNR, and the errors
3.1 实验方案
为了验证该算法的实用性，设计如图6所示的六自由度振动台，该振动台具有横向、垂向、转角运动等功能，可模拟火车在铁轨上运行时轨道几何不平顺引起的构架位移变化.提供不同类型的运动位移和加速度输入信号给六自由度振动台，实验采用PCB M352C65陶瓷剪切ICP型加速度计，固定在振动台上测量振动台中点的加速度，其灵敏度为100 mV/g，频率范围为0.5～10.0 kHz.
图6 振动台实验装置Fig.6 Devices for the shaking table test
同时采用高精度双频激光干涉仪进行振动台的位移测量，并将其位移测量结果作为标准数据，与加速度计测量得到的数据通过本积分算法后的位移信号进行比较.验证不同测试频率下，本算法对振动台垂向、横向数据积分的准确性.实验中采用正弦信号或多频率叠加正弦信号驱动振动台，同时记录加速度和位移信号，调整激光干涉仪的采样频率与加速度计采样频率相同，使数据具有可对比性.
3.2 标准正弦信号测试
首先采用频率为5 Hz、振幅为2 mm的标准正弦信号驱动振动台，采样频率均为1 000 Hz，采集0～8 s内的实测加速度时程波形图如图7(a)所示.对采集的加速度信号做FFT，得到加速度信号的幅值谱如图7(b)所示，可以看出除外激励频率5 Hz外，还存在着多种倍频干扰.将本文提出的频域积分方案应用于实测加速度数据，得到积分位移结果和实测位移结果作对比如图8(a)所示，图8(b)显示了1.5～2.5 s的对比结果局部放大图，积分位移信号与实测位移信号波形相似，只是幅值存在差异，其积分位移误差图如图8(c)所示.由于存在未知初始条件引起的不稳定状态，开始积分部分误差较高，但总体误差始终低于0.08，结果满足使用要求.
图7 振动台实测加速度波形及频谱Fig.7 Measured acceleration records and amplitude spectrum for the shaking table test
为了检验积分位移曲线和实测位移曲线的频谱特性，图8(d)中比较了积分位移和实测位移的频谱特性，通过对比发现5 Hz的主要频率保留，而其他的频率成分则被大幅衰减，证明去噪声和滤波效果显著.同时，积分位移与实测位移频率大小相同，只是幅值稍有差异，除了积分位移的振幅略有衰减外，两个频谱基本一致.与加速度频谱对比，可看出位移谱准确地记录了振动低频区的能量分布.综上所述，所提方案得到的结果是高质量的.在时域上，波形与实测位移相似，相位滞后小；
在频域上，最大程度地保留了位移信号的有效频谱分量.
图8 积分位移与实测位移对比与误差Fig.8 Comparison of integral displacement and measured displacement, and the errors
3.3 叠加噪声正弦信号测试
在列车运行过程中，通过对综合检测车采集到的构架加速度进行频谱分析，发现干扰部分为宽频带干扰，频率范围为0.5～45.0 Hz，但幅值较小.采用同3.2节相同的振动信号驱动试验台，并在实验中模拟添加0～50 Hz的宽频低幅值白噪声信号以及初始存在的倍频干扰情况，采集的加速度时程曲线和FFT之后的幅值谱如图9(a)和(b)所示，从频谱图中可以看出加速度信号有明显的噪声干扰的存在.对上述加速度信号采用本文的方法积分位移与实测位移对比图和2～3 s的局部放大图以及误差图如图9(c)(d)(e)所示.与3.2相比，可以明显看出，由于噪声的存在，积分位移结果与实测位移结果部分幅值存在差异，但误差整体上能保持在0.1以下，证明滤波与去噪声效果满足要求.
3.4 实验结果验证
通过振动台实验对多组加速度数据积分位移和测量位移作对比，为了避免未知初始状态引起的积分误差，对所有数据均采用开始后0.5 s的数据进行分析，得到误差图的最大值如表1所示，通过对多组给定激励条件的实验数据分析得知：大于1 Hz的数据频谱与给定激励频率满足要求.通过对复杂信号实测位移结果进行时域和频域分
图9 加噪声加速度信号及积分位移Fig.9 Acceleration signal with noise and integral displacement
表1 多组实测数据误差图的最大值
析得出低频成分对位移结果影响较大，主要频率越小误差就越大.
针对工程测试实际中带噪声加速度信号的积分问题，本文提出了一种基于滑动平均的低频衰减频域积分方法.利用该方法，给出了一种加速度积分位移方案，可以较准确地估计结构位移.通过数值模拟和振动台实验验证了该积分方案结果的有效性和实用性，得出如下结论：
1) 为了保证积分结果的准确度，积分前需要对测量的加速度信号作预处理，以去除信号中的高频干扰和直流分量；
2) 在频域积分的过程中，由于积分幅值与频率的平方成反比，则低频成分幅值会被放大，因此，频域积分的误差主要来源于低频干扰部分，基于低频衰减方法的高通滤波器，能有效去除低频部分对位移结果的影响；
3) 该积分方法采用滑动平均法预处理和频域积分，没有导致误差累积，较之其他积分方法，重构位移不存在长周期漂移，且具有较高的计算效率；
4) 通过数值模拟实例研究发现，积分位移信号与标准位移信号波形相似，只是幅值略有差异，除开始部分外，误差均保持0.02以内，证明精度较高，添加白噪声后的积分位移仍保持较高的精度；
5) 最后通过搭建六自由度实验平台，将该方法应用于实际轨道测量的数据分析中，通过实测加速度数值，将积分位移与实测位移结果进行比较, 结果表明，测试误差均小于0.1, 可以满足工程精度要求, 表明本文所提出的方法具有较高的实际应用价值.
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