【古代数学泰斗刘徽及其伟大成就】 我国古代伟大的数学家刘徽
时间：2019-01-28 17:55:14 来源：千叶帆 本文已影响人
【摘要】刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，也是具有世界影响的数学家。他在算术、代数、几何方面有着辉煌的成就。对中国古代数学体系的形成和发展影响很大，是中国古代数学的泰斗。
【关键词】刘徽；算术；代数；几何；成就
数学是中国古代科学中一门重要的学科。我国历史上曾经是个数学比较发达的国家，有很多卓越的数学家，及重要的数学著作，对世界科学的发展产生过一定影响。公元三世纪是我国数学理论发展的重要时期。在这一时期，中国古代杰出的数学家――刘徽做了许多创造性的数学理论工作，对我国古代数学体系的形成和发展影响很大。在世界数学史上，也占有重要的地位。他所撰的《九章算术注》与《海岛算经》作为我国宝贵的数学遗产而流传至今。并且他在算术、代数、几何方面有着辉煌的成就。
一、在算术上的成就
1.十进小数
他是世界上最早提出十进小数概念的人。“少广”章开方术注：“……求其微数，微数无名者，以其为分子，其一退以十为母，其再退以百为母，退之弥下，其分弥细……”就是说的十进小数。即：把忽（当时最小的长度单位）以下的第一位数作以10为分母（“其一退以十为母”）的分数，第二位数作以100为分母（“其再退以百为母”）的分数，……。这种无名的“微数”实际上就是现在小数的小数点后的部分。刘徽的十进小数记法在世界数学史上是一项伟大的成就，外国到十四世纪才出现同样的思想，比我国晚了一千多年。
2.齐同术
“齐同术”是刘徽从《九章算术》中关于分数的加减法与方程组解法中概括出来的一种方法。刘徽认为，“凡（分）母互乘（分）子谓之齐，群母相乘谓之同”。分数要进行加减运算，必须有同样的分母，做到“同”（通分），还要使每一个分数的分子与分母同步扩大，做到“齐”，即“母同子齐”，分数才能加减。例如，对于分数a/b和c/d，“凡（分）母互乘（分）子谓之齐”就是把，称之为齐，“群母相乘谓之同”就是把称之为同。刘徽又把他的齐同术进一步加以解释：“同”是一群分数的公分母，“齐”是由“同”而来，是为了使分数之值不变．虽然可以直接由定义求“齐”、“同”，但当分子分母都很大时，计算就不方便了．因而，刘徽提出用诸分数分母的最小公倍数去求：“齐”、“同”的方法，即“母除率，率乘子为齐”，“率”就是(诸分母的)最小公倍数。
刘徽不仅完成了齐同术理论，而且还推广到用齐同术去求几个分数的平均值，解释衰分术，解“均输”、“盈不足”和“方程”等问题。还将齐同术用在联立方程组的解法中，提出了互乘消元法，使消元过程得以简化。齐同术在外国没有提出过，因此可以说是我国古代算术的一个创造。
二、在代数上的成就
1.对于正负数的认识
在我国，很早就认识了负数，负数概念的建立是中国古代数学最杰出的创造之一。前苏联的数学史学家尤什凯维奇在《中国学者在数学领域中的成就》中说：“在《九章算术》第八章中，破天荒第一次在科学史上看到了正量与负量的区分……”。
刘徽在《九章算术注》中第一次深刻阐述了自己的观点．给出了正负的定义:“今两算得失相反，要令正负以名之。”“算”当时是指算筹，如果计算时用算筹代表“得”，“失”两种量，那就要用正负数来定义。这个看法是很正确的，对后来的数学有深远的影响。
2.改进解线性方程组的“直除法”
《九章算术》中的“方程术”是最早解“方程”的方法，主要是对方程实施“遍乘”和“直除”而达到消元的目的，比较麻烦。刘徽在方程章的注释中，对直除法加以改进，创立了互乘相消法。虽然，这种方法与现代加减消元法一致，不过那时用的是筹算。刘徽认为，这种方法可以推广到多元，“以小推大，虽四、五行不异也。”他还进一步指出，“相消”时要看两方程首项系数的同异，同则相减，异则相加。刘徽的工作，大大减化了线性方程组解法。
此外，刘徽在深入研究《九章算术》方程章的基础上，提出了比较系统的方程理论。刘徽所谓“程”是程式或关系式的意思，相当于现在的方程，而“方程”则相当于现在的方程组。他说：“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之．并列为行，故谓之方程。”这就是说：“有两个所求之物，需列两个程；有三个所求之物，需列三个程。程的个数必须与所求物的个数一致。诸程并列，恰成一方形，所以叫方程。”这里的“物”，实质上是未知数，只是当时尚未抽象出未知数的明确概念。定义中的“皆如物数程之”是十分重要的，它与刘徽提出的另一原则“行之左右无所同存”，共同构成了方程组有唯一解的条件。若译成现代数学语言，这两条即：方程个数必须与未知数个数一致，任意两个方程的系数不能相同或成比例。刘徽还认识到，当方程组中方程的个数少于所求物个数时，方程组的解不唯一；如果是齐次方程组，则方程组的解可以成比例地扩大或缩小，即“举率以言之”。对于方程组的性质，刘徽总结出如下诸条：“令每行为率”，即方程各项成比例地扩大或缩小，不改变方程组的解；“每一行中，虽复赤黑异算，无伤”，即方程各项同时变号，不改变方程组的解；“举率以相减，不害余数之课也，即两方程对应项相减，不改变方程组的解。很明显，刘徽对于线性方程组的初等变换，已经基本掌握了。不过，他没有考虑交换两个方程的位置，因为不进行这种变换亦可顺利求出方程组的解，而且调换算筹的位置是不方便的。
三、在几何上的成就
1.圆面积、圆周率与割圆术
我国古代相传有“周三经一”的说法，刘徽发现这仅是圆内接正六边形的周长与圆径（圆的直径）之比，而非圆周长与圆径之比，因此以3为p值来计算圆面积和圆柱、圆锥的体积等是很不精确的。因此他提出了割圆术，他首先从圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形的面积与圆面积之差越小，于是会“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”也就是说当边数成倍增加地分割下去，则被分割的圆弧和所对应正多边形的边就愈短，这就是“割之弥细”，于是圆内接正多边形的面积与圆面积的差愈小，这就是“所失弥少”。按照这种方法，如果分割次数无限增加时，则正多边形势必与圆重合，这样正多边形面积就与圆面积相等，而“无所失矣”，上述这段注文，充分体现了刘徽的极限思想。这一思想也提供了计算圆周率的科学方法。
刘徽割圆术的出现，在世界数学史上虽晚于希腊的阿基米德，但在我国数学史上却是十分重要的。首先刘徽的不等式只需要圆内接正多边形、而不需要圆外切正多边形，因而能够达到事半功倍的效果．其次我们祖先用位值制记数及计算，乘方、开方等运算都能迅速地完成，远比希腊人的计算方便得多。
此外，《九章算术》中有计算圆面积的重要公式：“半周半径相乘得积步”这是我国古代劳动人民通过大量生产实践总结出来的正确成果。但是这个公式究竟是如何形成的，由于经文过于简略，其他材料又十分缺乏，因而不可稽考。
2.几何定理的证明
刘徽采用出入相补原理，证明了《九章算术》中许多几何公式和定理，其中包括平面几何和立体几何定理。在研究立体几何时，发现了一条重要原理：对两个等高的立体，若用平行于底面的平面截得的面积之比为一常数，则这两立体的体积之比也等于该常数。这一原理可称为“刘徽原理”。在《九章算术注》中，刘徽多次运用了这一原理，例如，圆台体积：外切正四梭台体积=圆面积：外切正方形面积=。书中对圆锥、圆台等旋转体体积公式的推导，都是以刘徽原理为依据的。
3.对球体积的研究
我国古代把球称为“立圆”，又叫做“丸”。刘徽首先发现《九章算术》中：“球与其外切等边圆柱体积之比是”是错误的，试图利用刘徽原理求出正确的球体积公式。他首先作球的外切立方体，然后用两个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿，于是，球便被包在两圆柱相交的公共部分，而且与圆柱相切。此两圆柱的共同部分的形状，刘徽称之为“牟合方盖”。根据刘徽原理，球体积的计算公式就归结为如何计算牟合方盖的体积。这是刘徽对球体积计算的一个重大贡献。尽管刘徽并没有找到计算牟合方盖的方法，但是他为后人指明了方向。
刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生，他虽然地位低下，但人格高尚。他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。吴文俊先生说：“从对数学贡献的角度来衡量，刘徽应该与欧几里德、阿基米德等相提并论。”
参考文献：
[1]吴文俊.中国数学史大系:第三卷[M].北京:北京师范大学出版社,1998.
[2]李文林.数学史概论[M].北京:高等教育出版社,2003.
[3]郭书春.中国古代数学[M].北京:商务印书馆,1997,164.
[4]李继闵.东方数学典籍〈九章算术〉及其刘徽注研究[M].西安：陕西人民教育出版社,1990,263-270.
