闲话希尔伯特问题(上)_hilbert空间
时间：2019-02-16 05:41:44 来源：千叶帆 本文已影响人
一九○○年，在巴黎召开的第二届国际数学家大会上，希尔伯特（David Hilbert，1862―1943）做了题为《数学问题》的演讲，提出了二十三个他认为会对二十世纪数学发展起重大作用的问题，这就是著名的希尔伯特的二十三个问题。时至今日，一百一十年已经过去了。这二十三个问题有些被彻底解决了，有些得到了部分地解决，还有几个则没有解决。无论如何，这些问题对最近一百多年的数学研究确实是起了极大的推动作用，为了解决其中的某些问题，甚至发展出了一些新的数学领域或分支。在寻求解决这些问题的过程中，那些做出过重要贡献的人被数学界誉为“荣誉班”成员。关于他们有不少有意思的故事，有悲剧，也有喜剧。而提出这二十三个问题的希尔伯特更是数学界的一代大宗师，应该算是这个“荣誉班”当之无愧的班主任吧。他的学生之一、诺贝尔物理学奖获得者劳厄（Max von Laue，1879―1960）在回忆他时说：“在我的记忆中，这个人可能是我所见过的最伟大的天才。”
希尔伯特出生的哥尼斯堡（Knigsberg）是拓扑学的发祥地，著名的“七桥问题”中的七座桥就在那儿。哥尼斯堡也是大哲学家康德的故乡，在那里长大的孩子们（尤其是男孩）可以说都是浸泡在康德的思想里成长起来的。每年四月二十二日（康德的生日），康德长眠的地窟会对公众开放，希尔伯特的酷爱哲学的母亲总会带他去向这位伟大的哲学家致敬。也许正是由于这种哲学上的熏陶，使他一生对数学体系本身的完备性、相容性、确定性等基本问题情有独钟。
希尔伯特八岁才上学，比一般孩子晚了两年。他上的是颇负盛名的冯检基（Friedrichskolleg）书院。在他之前一百四十年，康德就在那里读书。在这所既传统又保守的名校里，最受重视的是拉丁文和希腊文，数学次之，根本不教授其他科学课程。因而记忆力并不出众的希尔伯特没有太大的用武之地，表现平平，基本上处在疲于应付的状态。数学对他来说毫不费力，可他也没花多少精力在上面。按他自己的话说，“在学校里，我没怎么在数学上下功夫，因为我知道以后会有机会去钻研它”。直到中学的最后一年，希尔伯特转学去了非常注重数学和科学的威廉（Wilhelm）书院，他才如鱼得水，各科成绩突飞猛进。尤其是数学，他不但获得了最高的分数，还被破格免去了口试。毕业时得到的评语是：“对于数学，他总是表现出浓厚的兴趣和深刻的理解：他以令人激赏的方式掌握了学校里教授的所有科目，并且能将其以令人信服和富有创造性的方式加以应用。”
中学毕业后，希尔伯特进了哥尼斯堡大学。这所大学以自由著称，教授想教什么就教什么，学生想学什么就学什么，没有任何限制。甚至每门课上完后连考试都没有，只在毕业时需要通过考试。希尔伯特没有按照父亲的愿望去学法律（他父亲是法官），而是选择了数学。那时德国的大学允许学生到其他学校去游学，希尔伯特曾到著名的洪堡大学就读过一学期。但他没有像大多数学生那样，继续前行去当时的学术中心柏林，而是返回了哥尼斯堡。一八八二年，具有数学神童之称的闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864―1909）也回到哥尼斯堡，两人志趣相投，从此结为终生的挚友。这个闵可夫斯基后来教过爱因斯坦数学，尽管他对爱因斯坦的数学才能评价很低，他引入的四维时空（闵可夫斯基空间）概念却为相对论的后续发展奠定了关键的数学基础。一八八四年，二十四岁的赫尔维茨（Adolf Hurwitz，1859―1919）来到哥尼斯堡大学当助理教授，他对希尔伯特的影响极大，可以说是他真正的老师。有相当长的一段时间，每天下午五点整，赫尔维茨、希尔伯特和闵可夫斯基三人都要聚在一起，散步到一棵苹果树下。以希尔伯特自己的说法，“在无休止的散步中，我们全神贯注于当时的各种数学问题，交流我们对这些问题的最新理解、想法和研究计划。同时形成了永久的友谊”。
与闵可夫斯基和赫尔维茨相比，希尔伯特应该算是大器晚成的那种（当然不是以我们今天的标准）。闵可夫斯基十八岁还在上大学时就赢得了国际知名度很高的巴黎科学院科学数学大奖赛的大奖（一八八三年）。赫尔维茨则年纪轻轻就已经发表了多篇重量级的数学论文，并获得了令人羡慕的职位。
希尔伯特之所以后来在许多领域里取得了重大成果，与他做学问的方法密切相关。一般人开始研究一个新课题时，通常是以前人的结果为起点接着往前走。希尔伯特却不是这样，他总是要从问题的起源开始，将它的来龙去脉彻底梳理一遍。这往往能让他站在新的制高点上，从与前人不同的角度重新审视问题，发现意想不到的新方法来攻克难题。一个典型的例子就是在他刚出道时解决的不变量理论中的戈尔丹问题。戈尔丹（Paul Gordan，1837―1912）在一八六八年使用构造性方法给出了二元型系统的证明。此后二十年间，很多数学家花了大量的时间想将其推广到更多元的系统，都以失败告终。希尔伯特仔细分析了戈尔丹问题，断定沿着老路走下去是没有希望的。他于是从一个全新的视角重新审视这个问题，在一八八八年利用反证法一举给出了任意多元系统的证明。
到一九○○年，希尔伯特已经成为可以和庞加莱（Henri Poincaré，1854―1912）比肩的顶尖数学家了。第二届国际数学家大会邀请他做一个专题演讲，题目自选。希尔伯特认为，如果能归纳出对新世纪的数学发展具有重要影响的一批问题将会比仅仅讲一个他自己的研究成果更有意义。为此，他写信征求了闵可夫斯基和赫尔维茨的意见，并在其后多次与他们通信商定问题的取舍。应该说在最后确定的这二十三个问题中，也有闵可夫斯基和赫尔维茨不少的心血。
由于时间限制，希尔伯特在大会上只来得及讲了二十三个问题中的十个，其余的十三个被列在会议的通报中。这些问题大体上可以分成四大类：数学的基础问题及特定数学领域的基础问题、数论问题、代数与几何问题，以及数学分析问题。
巴黎数学家大会之后，这二十三个问题成了二十世纪数学界的指路灯。希尔伯特所在的哥廷根大学则被很多人视为数学的圣地，成百名青年学生从世界各地云集到那里。在鼎盛时期（第一次世界大战为这一时期画上了句号），希尔伯特讲课时经常连走道上和窗户外都站着学生。他的很多学生和助手后来都成为数学界或物理学界的重要人物，说他桃李满天下一点也不为过。
一九五○年，美国数学学会要求当时最有影响的数学家之一韦尔（Hermann Weyl，1885―1955）总结一下过去五十年数学的进展，韦尔写道，要不是因为“巴黎问题”所用术语太过专业，则只需直接将已经解决和部分解决的希尔伯特问题开列下来就已经可以完成任务了。“（希尔伯特问题）就是数学家们经常用来衡量自己进展的进度表。”围绕希尔伯特问题的解决，有很多故事可以拿出来细细品味，比如有关希尔伯特第二问题、第八问题、第十三问题等。
希尔伯特第二问题
希尔伯特第二问题是关于“公理系统相容性的问题”（即判定一个公理系统内的所有命题是彼此相容无矛盾的），希尔伯特希望能以严格的方式来证明任意公理系统内命题的相容性。公理系统的一个简单例子，是我们上中学时都学过的欧氏几何学，欧几里得列出了十条公理，所有别的几何定理都可以从这些公理出发推导出来。
解决希尔伯特第二问题的，是被誉为亚里士多德之后最伟大的逻辑学家的哥德尔（Kurt Godel，1906―1978）。除了希尔伯特第二问题，哥德尔对希尔伯特第一问题的解决也起了关键性的作用，若不是他的兴趣突然莫名其妙地转移了，第一问题很可能也会成为他的囊中物。
哥德尔出生在摩拉维亚省的布尔诺（当时属奥匈帝国，现属捷克）。他天资聪颖，只用了四年时间就完成了一般需要八年的初等教育。一九一八年上高中后，他几乎门门功课都得最高分，而唯一没拿到最高分的课竟是数学！在进入维也纳大学之初，他是准备搞物理的。后来他的导师、数学家哈恩（Hans Hahn，1879―1934）介绍他加入了当时非常有名的Vienna Circle（一个以探讨数学和物理学的哲学基础为目标的、由科学家和哲学家组成的小团体），使他的兴趣一下子从物理学转向了逻辑学。
一九三○年二月，哥德尔获得博士学位，他的博士论文是证明数理逻辑中最基本的形式系统――谓词演算（又称一阶逻辑）的完备性和相容性。这一年稍后，他证明了他的最著名的两个关于公理系统的不完备性定理（发表于一九三一年三月）。哥德尔的论证与古希腊哲学家埃庇米尼得斯（Epimenides，公元前六世纪）的克里特悖论（身为克里特人的埃庇米尼得斯宣称“所有的克里特人都是骗子”）有点类似。其大意是说，对于任何一个公理系统，必定存在一个用形式语言表述的语句（statement）无法用形式语言的推理来证实或证伪，即这个语句是不确定的，因而只能靠增加一个新的公理来对付它。换句话说，为了堵住公理系统的一个漏洞，就需要引入新的公理，而新公理的引入又导致新漏洞的出现――鱼总是比网大！正是这个不完备性定理从完全出乎预料的、相反的方向解决了希尔伯特第二问题。比较准确的说法可能应该是：不完备性定理证明了公理系统相容性的不可证明（也就是说，希尔伯特想要的，是根本不可能被证明的）。这个消息刚刚传到希尔伯特那里时，他的最初反应是难以置信，甚至还有些愤怒。后来在他的助手伯内斯（Paul Bernays）的说服之下，他仔细研究了哥德尔的证明，很快意识到其正确性和重要性。当时希尔伯特正在哥廷根大学讲授一门关于公理系统的课，看了哥德尔的论文后，他马上把剩余课程全部取消了。
哥德尔是数学界公认的天才，也是众所周知的大怪物。他生性怕羞，据说他第一次讲课时整整一节课全都是面对黑板，没朝学生看一眼。有人认为这也许与他那时就已经患了某种程度的抑郁症或狂想症有关。早在学生时代，医生就怀疑哥德尔可能患有抑郁症或精神病，而他的一大乐趣就是与他的一个朋友共同策划如何误导医生，以使其无法判断他到底有什么病。也许正是这种讳疾忌医的态度要了他自己的命。到了晚年，他的狂想症最终发展到拒绝进食（因为怀疑食物里有毒），以致由于器官功能衰竭而死。
哥德尔还有过被误认为是德国间谍的经历。一九四二年夏天，他到缅因州的滨海小镇蓝山（Blue Hill）度假。那时他正致力于选择公理的独立性的研究，为了不受干扰，他总在晚上去海滩边散步边思考。散步就散步，却还要自言自语，而且还用德文。那时第二次世界大战正打得如火如荼，德国潜艇曾经在美国大西洋沿岸出没过，哥德尔的长相恐怕也有点容易令人起疑。所有这些因素加在一起，让当地的居民很难不疑心他是前来接应德国潜艇的间谍。当局不时接到举报电话，好在他们并不糊涂，从未把哥德尔弄到警察局去。
作为逻辑学家，哥德尔一生认死理、爱钻牛角尖，凡事都以逻辑推理为准，有时候让人觉得他好像是个不食人间烟火的异类。他为数不多的朋友之一，对策论的奠基人、经济学家摩根斯坦（Oskar Morgenstern，1902―1977）讲过一个很有趣的故事，颇能反映哥德尔的这一特点。一九四八年四月，哥德尔准备加入美国籍。入籍前必须通过一个例行的简单考试。他花了极大的精力认真进行准备，尤其深入地钻研了美国宪法。考试前不久，哥德尔十分兴奋地跑来对摩根斯坦说：“我发现了一个使美国能在逻辑上合法转化为独裁政权的可能性。”摩根斯坦当然知道不管哥德尔的论证多么精辟，这项发现对入籍考试来说都是灾难性的。所以他特别叮嘱哥德尔在考试时一定不要提这项新发现。考试那天，爱因斯坦和摩根斯坦两人作为证人陪同哥德尔来到移民局。入籍考试通常只允许申请人一人进入移民官的办公室。可能是出于对爱因斯坦的尊重，移民官把他们三人一起请了进去。移民官开场说道：“到目前为止，你持有德国国籍……”哥德尔马上纠正说是奥地利国籍。移民官接着说：“不管怎样，它是在邪恶的独裁统治之下……幸运的是，这在美国是不可能发生的。”这下可捅了马蜂窝，哥德尔立刻高声打断道：“正相反，我知道这是可能发生的！”摩根斯坦等三人费了九牛二虎之力才总算阻止住他继续深入阐述他的重要发现，让考试回归正轨。
爱因斯坦与哥德尔交情匪浅，两人经常一起从普林斯顿高等研究所散步回家。一路上他们会讨论涵盖范围极广的各种各样的问题。哥德尔是为数不多的愿意挑战爱因斯坦想法的人，比如他曾直言对统一场论抱持怀疑态度。晚年时，爱因斯坦有一次跟摩根斯坦说，他自己的工作对其本身已经没有多大意义，他之所以仍然每天去研究所，仅仅是为了“能获得与哥德尔一起散步回家的特权”。哥德尔也把爱因斯坦视为知己。一九四九年，为庆祝爱因斯坦七十大寿，《在世哲学家文库》准备出一本专辑《阿尔伯特・爱因斯坦：哲学家―科学家》。主编希欧普（P.A.Schilpp）邀请哥德尔也贡献一篇文章。哥德尔突发奇想，决定要为专辑写一篇关于广义相对论的论文，于是重操物理旧业，开始认真研究广义相对论。让人不得不服气的是，他还真发现了爱因斯坦场方程的一个不为人知的新解――这个解对应于一个“没有时间的世界”（有兴趣的读者可以去看Palle Yourgrau 的A World Without Time）。
