高等数学证明不等式的方法【高等数学中不等式证明的几种方法】

时间：2019-02-03 05:29:11 来源：千叶帆本文已影响人

　　[摘要] 不等式的证明是高等数学学习中的一个难点，证明方法灵活多变，技巧性强，本文通过例题讲解介绍了不等式证明的几种基本方法。　　[关键词] 函数不等式证明
　　
　　在高等数学的学习过程当中，不等式的证明是一个比较常见的问题，在各种考试当中经常出现。它也是高等数学学习的一个难点，大多数学生在遇到不等式证明问题时都不知到如何下手，苦于没有思路，这主要是因为不等式的证明没有固定的模式，也没有具体的定理明确指出用来证明不等式，而许多不等式证明问题又都存在一题多法，证明方法灵活多变，有一定的技巧性。虽然这样，但不等式的证明也是有一些基本方法的，下面我就针对不等式的证明，总结了几种常用的方法。
　　一、利用拉格朗日中值定理证明不等式
　　利用拉格朗日中值定理证明不等式，通常是先根据所要证明的不等式通过变形作一辅助函数，并确定自变量的一个变化闭区间，使辅助函数在变化闭区间上满足拉氏定理的条件，再对辅助函数应用拉格朗日中值定理，便得到一个含ξ的等式，最后结合题设的条件，对前面的含ξ的等式作适当的变化，即可得到所要的不等式。
　　二、利用函数的单调增减性证明不等式
　　三、利用求函数的极值证明不等式
　　这种方法一般首先确定函数的定义域，求出导函数，然后找出函数的全部驻点及导函数不存在的点，再将上述点代入到二阶导函数中判别其符号，从而确定上述点是否极值情况，再与题目的不等式联系起来进行证明。
　　四、利用定积分中值定理证明不等式
　　这种证明方法一般用在含有定积分的不等式中，首先是根据定积分中值定理写出有关定积分的一个等式，结合要证明的不等式，再根据被积函数的单调性，从而证出结论。
　　五、利用泰勒展开式证明不等式
　　这种方法的证明常用的是将函数在所给区间端点或一些特定点（如区间的中点，零点）进行展开，通过分析余项在ξ点的性质，而得出不等式。另外若余项在所给区间上不变号，也可将余项舍去而得到不等式。
　　六、利用函数凸凹性证明不等式
　　这种方法通常是根据不等式的特点先构造辅助函数，再判定函数在指定区间上的凸凹性，最后根据凸凹函数的定义，导出要证明的不等式。

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