庞加莱猜想佩雷尔曼_佩雷尔曼与庞加莱猜想
时间：2019-02-16 05:45:08 来源：千叶帆 本文已影响人
二○○○年,美国克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute, CMI)邀集了世界上的一些顶级数学家,共同拟定出七个对二十一世纪的数学发展具有重大意义的难题(千禧年大奖难题),并为每个难题的解决设定了一百万美元的奖金。庞加莱猜想是这七个难题之一,也是迄今为止其中唯一得到解答的问题。
庞加莱猜想在拓扑学中占有举足轻重的地位。什么是拓扑学?简单地说,拓扑学就是研究有形的物体在连续变换下,怎样还能保持性质不变的学问。比如,把面团揉成一个圆球(其表面叫做球面),或压扁成一个烧饼,或拉成一根面条,它们的几何形状是完全不一样的,可它们的拓扑性质却相同(拓扑等价)。但如果在烧饼上挖个洞,变成一个甜甜圈(其表面叫做环面),则拓扑性质就变了。为了研究高维空间中曲面之间拓扑性质的异同,庞加莱(Henri Poincaré,1854―1912,法国数学家)在一九○四年提出了他著名的猜想,这个猜想最初是关于四维空间中的三维曲面的(我们生活在三维空间,皮球或甜甜圈的表面则是二维曲面),后来被推广到更高维空间中的曲面。非专业人士很难明白庞加莱猜想到底说的是什么,不过我们可以在三维空间中做一个粗略的类比,这样也能大概了解一点它的意思:如果在球面(或任何与球面拓扑等价的曲面)上任意画一个封闭的圈,然后让这个圈不断缩小,它最终一定会缩成一个点。直观上很容易看出,不管是圆球还是烧饼,在其表面上画一个封闭的圈,令其不断缩小,它显然会缩到一个点。但如果围着甜甜圈的洞画一个封闭的圈,由于洞的存在,这个圈是缩不到一个点的。因而我们说球面和环面具有不同的拓扑性质。
庞加莱猜想在直观上看起来似乎一目了然,但在数学上要证明它却难上加难。法国数学大师阿兰・科纳(Alain Connes)在提到包括庞加莱猜想在内的七大千禧年难题时说:“正是这些极为困难的难题让数学更具价值,它们就像是数学领域里的珠穆朗玛峰或喜马拉雅山,到达顶峰是极难的――为此我们甚至可能付出一生的代价。但是一旦登上顶峰,看到的景色则将奇妙无比。”
从一九○四年庞加莱猜想提出后,在将近一百年的时间里,有很多顶尖的数学家在其上倾注了无数心血。直到二○○二年十一月至二○○三年七月,俄国数学家格里戈里・佩雷尔曼(Grigori Perelman)在互联网上连续发表了三篇论文预印本,才最终给出了完整的证明。二○○六年,数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。同年,第二十五届国际数学家大会决定将菲尔兹奖(这个奖通常被认为是数学界的诺贝尔奖)授予佩雷尔曼,但佩雷尔曼拒绝接受该奖,也拒绝出席大会。单凭拒领菲尔兹奖这一点,就可以说佩雷尔曼是个大怪人。但他的怪还远远不止于此。自从他在互联网上发表了那三篇论文,很多世界顶尖大学(例如普林斯顿大学、麻省理工学院、斯坦福大学等等)为他提供对常人来说极具吸引力的职位,希望他能去工作,而他或者粗鲁地加以拒绝,或者根本不予理睬。二○○五年底,不知由于什么原因,他又突然辞掉了在俄国斯捷克洛夫(Steklov)数学研究所的工作。之后住在他母亲位于圣彼得堡的公寓里,两人以他母亲的退休金和他在美国做博士后时积攒下的一点钱为生,过着一种与世隔绝的生活。他不但从学术界消失,而且从社会上消失了。有人曾试图打电话给他,得到的回答竟是“佩雷尔曼已经死了”。至于那一百万美元的千禧年大奖,佩雷尔曼也曾宣称不会接受。
说起决定颁发千禧年大奖给佩雷尔曼,还有个小小的插曲。本来获奖资格的规定中有一条:难题的解答必须发表在相关的学术刊物上。佩雷尔曼的三篇论文只在互联网上发表过,而从没刊载于任何数学期刊。更有甚者,他还拒绝审阅任何解释、补充他的想法的论文。不过经慎重研究后,评审委员会最终还是决定佩雷尔曼有资格获奖。千禧年大奖的颁奖大会定于二○一○年六月召开。据美联社三月二十九日的消息,佩雷尔曼对是否接受该奖似乎有所松动,他中学时期的数学老师谢尔盖・儒克辛(Sergei Rukshin)透露,佩雷尔曼目前尚未最后决定是否要去领奖。这一百万美元奖金能不能给出去,谜底最终将在六月揭晓。
佩雷尔曼为什么能攻克庞加莱猜想这一难题,又为什么会在行为上如此异于常人?最近俄国女作家玛莎・格森(Masha Gessen)专门写了一本书《完美的严格》(Perfect Rigor)来探讨这些问题。格森在青少年时期有着与佩雷尔曼颇为相似的生活环境,她不仅和佩雷尔曼一样是犹太裔,并且都是从小在数学俱乐部(相当于我们的奥数训练中心)里受训的数学才子、才女。这无疑为她研究佩雷尔曼提供了比较有利的条件。她采访了许多与佩雷尔曼有过接触的人,试图以“农村包围城市”的办法对他进行全面的了解。在她的书里有不少很有意思的故事。
一般来讲数学家的思维方式分成两大类:代数型与几何型。在面对数学问题时,代数型的人往往将问题转化成数字或方程式来进行思考,而几何型的人则把问题转化成图形来进行思考。有意思的是,通过采访佩雷尔曼的众多同学,格森发现他似乎是个异类。与佩雷尔曼同窗长达十年的戈诺瓦洛夫(Golovanov)是典型的代数型, 他很肯定地说佩雷尔曼是几何型的,理由是佩雷尔曼解一道几何题所用的时间仅够他看明白这道题说的是什么。而几何型的苏达科夫(Sudakov)却一口咬定佩雷尔曼是代数型的,因为在他们共同训练和比赛的六年多里,两人对同一数学问题的思考过程及解决方法几乎毫无共同之处。总之,佩雷尔曼的思维方式对很多人而言都是一个谜。面对一道道难题,他通常连纸笔都不用,整个运算全在脑子里进行,然后将答案准确无误地写出来,就像一台解题机器。
佩雷尔曼从小在解数学题时就追求完美和严格,有时候甚至显得有些迂。在全国数学奥林匹克选拔赛(前六名可获得代表苏联参加国际数学奥林匹克大赛的资格)上,每名参赛者先拿到一道题,做完后需举手示意,然后会被带到另一间屋子里向两位教授解释他的答案,如果正确,就能拿到下一题,否则只能继续做原来的题。佩雷尔曼在解释了他的一道题之后,教授们表示答案正确,让他回去做下一题,可他居然揪住教授的衣服不放,说这道题还有其他三个解,非要教授们听他讲完另外的解不可!参加过数学比赛的人都知道,多几分钟往往就可能决定胜负,而佩雷尔曼显然认为完美和严格比胜负更重要。
在苏联,犹太人一直遭遇某种程度的歧视,特别是在升学与就业等方面经常受到不公平的对待。例如著名的列宁格勒大学数学力学系就规定每年只能录取两名犹太裔学生,甚至有的人只因名字像犹太人而被拒之门外。佩雷尔曼虽然是犹太人,但在他成长的过程中却从未感受到这类歧视。几位对他的数学天赋极为赏识的老师努力为他搭建了一层保护网,使他不必直接面对社会的丑恶,并能充分自由地发展其数学才能。其中最重要的一个人是谢尔盖・儒克辛。佩雷尔曼五年级时进入儒克辛当教练的列宁格勒(现在的圣彼得堡)先锋宫数学俱乐部。那时儒克辛也不过才十九岁,还在大学里读书,是兼职教练。这个数学俱乐部在儒克辛领导下,在其后的半个多世纪里为苏联/俄国赢得了七十多枚国际数学奥林匹克奖章(其中包括四十多枚金质奖章)。作为俄国最有成就的数学竞赛教练,儒克辛发现人才的“嗅觉”是极为灵敏的。佩雷尔曼刚进先锋宫数学俱乐部的头几年,从比赛成绩上看,并不是最拔尖的。可儒克辛几乎在第一时间就认定他是真正的天才,前途无可限量。从佩雷尔曼一进入俱乐部,儒克辛就开始了塑造天才的工程。他不但要将佩雷尔曼培养成顶尖的数学竞赛高手,而且要为其铺设一条通往列宁格勒大学数学力学系的最保险的道路――拿下国际数学奥林匹克奖章(苏联规定凡获奖者不论族裔可以免试进入苏联的任何一所大学)。儒克辛对佩雷尔曼的塑造远不仅止于数学方面,还包括欣赏古典音乐、诗歌,教他英语,甚至让他放弃练了多年的小提琴而改习声乐。为了创造一个最佳的学习环境,儒克辛说服二三九中学(列宁格勒最著名的明星中学)的校长,让佩雷尔曼那一届的数学俱乐部成员集体进入该校就读。佩雷尔曼也不负所望,一路过关斩将以满分的成绩拿下一九八二年国际数学奥林匹克金奖,顺利进入列宁格勒大学数学力学系。
佩雷尔曼一路走来都有“贵人”相助。除了儒克辛,赛格勒(Zalgaller,佩雷尔曼大学时的导师)培养了他解决问题的技巧并把他引荐给了亚历山德罗夫(Alexandrov)和博瑞古(Burago,佩雷尔曼的博士论文导师);亚历山德罗夫一手将他送入研究生院;博瑞古则把他介绍给在国际数学界享有很高声望的格罗莫夫(Gromov);格罗莫夫最终把他推向了世界。这些人都遵循了一条培养天才的重要原则:尽可能地保证其自由发展的空间。其中一个关键人物是亚历山德罗夫,他曾任列宁格勒大学校长,是苏联著名的数学家和物理学家,科学院资深院士。没有他的鼎力相助,犹太裔的佩雷尔曼是很难进入顶尖的斯捷克洛夫数学研究所读博士研究生的。
佩雷尔曼在取得博士学位时就已经崭露头角,发表了一系列高水平的论文。在格罗莫夫的推荐下,他又去美国纽约大学和纽约州立大学石溪分校进行了一年多的博士后研究。这期间,他在研究亚历山德罗夫空间方面取得了突破性的进展,从而成为数学界的一颗新星。一九九五年佩雷尔曼返回俄国。由于苏联解体,那时的斯捷克洛夫数学研究所已经陷于半瘫痪状态,工资少得可怜,研究人员很少去上班,想干什么就可以干什么。佩雷尔曼却正好得其所哉,他终于可以摆脱掉所有以前不得不面对的干扰――比赛、考试、论文、教课,从而全身心地投入到数学王国之中。从一九九五到二○○二这七年间,没人知道也没人过问他在干什么,直到他突然在互联网上发表了那三篇震惊数学界的文章。由于圈内人都知道他在数学问题上从不犯错,文章立即引起了同行们的高度重视。美国麻省理工学院和纽约州立大学石溪分校马上邀请他到两校各办两星期的讲习班,专门研讨那篇文章。在美国期间,许多著名大学许诺给他极为优厚的待遇,希望能把他挖过去,可他均不屑一顾。回俄国后,他依旧独往独来。直到二○○五年十二月的一天,他走进所长办公室,很平静地说:“我对这里的人并不反感,不过也没有朋友。总之,我对数学感到失望,想去做点别的事情。我辞职了。”没人确切知道是什么原因使他“对数学感到失望”。可能是攀上高峰后对数学感到了厌倦?抑或是对数学界中显现出的商业气息越来越无法接受?还是像格森推断的那样――他可能患有亚斯伯格症(一种没有智能障碍的自闭症)?反正他与数学(实际上也与整个社会)分道扬镳了。
我倒是觉得有一种解释可能更说得通:在数学世界里,对就是对,错就是错,绝没有什么似是而非的灰色地带。佩雷尔曼长期埋头于这样一个世界里,使他形成了一种非黑即白的价值判定观,因而容不得半点虚假――不仅对数学而且对社会。格森的书里有不少这方面的例子:仅仅因为一条脚注就和自己的恩师博瑞古(佩雷尔曼毕业后一直在他的研究室工作,并合作发表过很重要的文章)彻底闹翻;为了研究所把一点结余的科研经费加到他的工资里而大发雷霆。……总而言之,当他的那些保护神们不再能替他遮风挡雨时,面对社会上众多他无法接受的现实(其中很多在常人看来也许是很自然的),他选择了最容易的对策――逃避。
佩雷尔曼的故事也让我想起上大学时几个颇有天赋的同学。其一是我刚进中国科技大学七八级时同班的××,他当时是少年班出来的年龄最小的学生、全国闻名的“神童”。可大学毕业后一直不顺,听说几年前出家当了和尚。另一位是我跳级到七七级之后一直很要好的同班同学,也是出自少年班。他一九八一年考上科学院理论物理所研究生,却处不好与导师的关系。后来到美国一所大学读书,可能是觉得怀才不遇,心情不好,以致患了臆病,最后连学业也无法顺利完成。佩雷尔曼和我的这些同学,在现实生活中,他们的命运,大概都属于天才的悲剧,不同之处仅在成名与否而已。
生为“神童”、天才,幸耶?不幸耶?真是难说得很。
