同一法为勾股定理的推导提供解题生长点
时间：2020-04-05 05:20:01 来源：千叶帆 本文已影响人
【摘要】如何用解题式的思维方式去分析勾股定理的存在？教学中，若没有从教师提示的面积法分析直角三角形的三边关系，我们是否能让学生自己通过解题发现勾股定理，在这个过程中，教师需要做好怎样的方法铺垫，以帮助学生解题思维的顺利生长.
【关键词】同一法；勾股定理；解题思维生长点
1我怎么没想到
常见的勾股定理教学中，命题引入方式有两种：
（1）直接呈现式.有以下几种具体呈现形式：
①呈现毕达哥拉斯观察到的地板图案，请学生观察并提出问题：“你认为这三个正方形的面积之间存在着怎样的关系？”如图1；
②呈现以特殊数3，4，5为边长的直角三角形的三边正方形图，请学生算一算：“这三个正方形的面积之间存在着怎样的等量关系？”如图2；
③呈现弦图，请学生观察并分析其中几何图形的面積关系，如图3.
（2）问题发生式.此种教学法的常见形态有：
④测量猜想式.如：作两个直角三角形，使其两直角边分别是3cm和4cm，5cm和12cm，测一测斜边的长度；
⑤格点转移式.如：在网格中，作一个直角边长分别为3、4的直角三角形，量一量该直角三角形的斜边长是多少？若利用圆规，以斜边长为半径作弧，可发现圆弧经过另一个格点，数出半径长恰好是5个单位长度.同理，可以测量出直角边长分别为5、12的直角三角形的斜边长为13.
笔者初上讲台，使用直接呈现式的教学方式.每当展示勾股图的时候，笔者感受到学生的惊叹连连：“好聪明啊！”“他是怎么想到去算正方形面积的呢？”“我怎么就想不到呢？”“为什么会想到研究一个三边长为3、4、5的直角三角形？”虽然学生向笔者投来敬佩的目光，但似乎，疑问多于赞叹.
毕达哥拉斯从地板的图案上顿悟出勾股定理，是机缘巧合，但讲这样的故事就是学习数学了吗？
再次教学，笔者开始改用问题发生式教学，提出问题：你会求直角三角形的斜边长吗？笔者以为，用问题驱动的方式可以引导学生积极展开思维.而事实上，因为量一量的对象是特殊边长的直角三角形，结果也特殊，所以在量一量的环节，学生表现平静，无疑无赞.当笔者再接下来问：“这三个数据之间有什么特殊的关系吗？”学生的表现更是一愣一愣的，几分钟内，教室内只听见小小的嘀咕声，却没人说得出结果.当笔者再次点醒：“你没有发现32+42=52、52+122=132吗？”教室内顿时如炸开了锅一样，“原来是这样啊！”、“我怎么就没想到呢？”
一句话：“我怎么没有想到？”
——“我怎么没有想到以直角三角形的三条边为边构建正方形？”；
——“我怎么没有想到3、4、5之间、5、12、13之间会有什么相同的数量关系？”；
课后，学生问我：“老师，你是怎么想到的？你可以把你想到的方法告诉我吗？”
——“是啊，我是怎样想到的呢？前人是如何想到的呢？”笔者自问，并深深地思考：“毕达哥拉斯的顿悟虽是一种重要的解题方式，但学生对此的惊讶多于理解！是什么方法能让人想到这样的构图法解题？我该如何解题（求直角三角形的斜边长）、我该如何构图？”
2我该如何解题
再次执教这节课，笔者深深地思考：“如果没有勾股定理，我们应当如何求解直角三角形的斜边长？”
2.1从认知角度进行解题类别分析
求线段长度是常见的题型.一般在梳理问题条件时，需要从两个方向进行准备分析：一是问题条件的准备，二是知识准备.初中范围内，几何以三角形为基础，展开学习四边形、多边形、圆形，依据归纳转化的思想，当我们对知识系统中的上层知识进行学习、研究时，常常将其转化为对基础问题的求解，如求解多边形内角和时，将多边形转化为三角形进行求解；学习平行四边形的性质时，将四边形转化为三角形进行学习；解决不规则图形面积时，常常将不规则图形转化为规则图形进行处理.所以，对图形常见的处理方式是高级向低级的转化，不规则的图形向规则的图形进行转化，这是一种下位学习的方式，也是一种下位式的解题方式；奥苏伯尔曾在对认知结构进行分析的基础上，提出关于命题学习的三种分类：上位学习、下位学习、并列学习.通过命题学习，我们获得了命题的结论性知识，用命题的“结论解题”是数学解题中常常偏好的一个方向，只要能对问题的模式进行识别、会从命题的条件辨别异同，能在求同思维及求异思维的指导下进行分析，就可以解题.这是一种原型式的、特征式的解题方式.这种解题方式的缺点就是以结论为主，以原型模式辨别为主，很少在解题过程中明确解题的生长基础，并寻找解题的生长点.
借鉴奥苏伯尔的命题学习分类，我们也将解题学习分为三类：上位式解题、下位式解题、并列式解题.上位式解题：在解决问题时将问题向上一个层级的概念、命题进行转化，借助包容程度更高的命题、概念帮助解决问题；下位式解题：将问题向从属的概念、命题进行分解、转化，借助基础地、熟悉地、简易的知识结构解决问题，这也是一种常用的解题方式；并列式解题：在解决问题时，没有将问题的结构进行上位、下位概念命题的转移，利用同层级的概念、命题解题，比如：同一法证明勾股逆定理，文献[1]借助逆命题解题都是属于并列式解题的例子.
同一法在初中范围内应用不多，主要是因为用此法解题，不用调动上、下位的概念图式，对培养学生命题域的知识结构效用不大，所以在数学学习过程中，甚少出现，只是在涉及互逆命题的证明或使用互逆命题时，才被人记起，而这样的互逆命题教学，在初中的数学教学过程中，所占的比例仅仅微乎其微.
2.2同一法为勾股定理的推导提供解题生长点
近日，笔者在进行八年级《直角三角形的性质》教学时，频频接触到一组组互逆命题：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；如果三角形的一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；②直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；如果一个直角三角形中，有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.教学时，笔者着重对这些互逆命题的证明，及一些使用逆命题互助解题的例题进行重点教学，其间教授了同一法.而后又接触到勾股定理的教学.笔者在备课时以解题生长式的理念进行备课思考：如何求解直角三角形的斜边长呢？解决此命题的解题基础和解题生长点在何处？
解题基础分析：（1）关于勾股定理命题证明的条件只有一个：直角三角形；（2）与直角三角形边长有关的知识概念储备：无.
解题生长点分析：这样的命题解决，如何进行？解题的生长点在哪里？从条件分析，还是从储备知识分析？储备知识无，那么只能从条件入手，条件如何转化？此图中只有一个直角三角形，条件单一，如何转？转向何处去？
曾经学过的知识中，除三角形的三边关系，全等三角形的知识，其余者无.其中“三角形的三边关系”用不上，那么知识储备中就只有全等三角形的知识.“单木不成林”，单单一个三角形，哪来全等关系？可除了全等，还有何法？
不禁地，笔者想到才接触的同一法：是否可利用同一法将图形进行再建构？如果图中具有多个全等三角形，那么图形会变成……，尝试之后，笔者顿觉思路大开，原来，奥妙藏于此图中.笔者兴奋不已，借助同一法，进行了一堂非常顺利的勾股定理证明的教学课.以下为教学实录：
师：“前两节课我们用同一法解决了一些图形性質单一、不易于被证明的问题.同一法告诉我们：对于无法求解的线段，可在原图四周，重新建构一条长度相同的线段（或性质相关图形），通过证明新旧两图全等，而获得原线段长度.”
（呈现问题）……
师：“现在，我们如何求直角三角形的斜边AB的长？”
生：“我们可以在△ABC外再寻找长度等于AB的线段.利用圆规，分别以点A、B为圆心，AB长为半径作弧，圆弧经过格点E和F.因为线段BE、AF与线段AB一样，都是一个3×4的矩形对角线，所以AB=BE=AF，同理可证线段EF=AB.发现新组成的四边形ABEF是一个小正方形，被包含在大正方形CMNK中，可以证明小正方形四周均为全等的直角三角形.”
“这样的图形能帮助你求线段AB的长吗？”
“能.如果能算出正方形ABEF的面积，就可以知晓边长AB的值.”
“如何求小正方形ABEF的面积呢？”
此时，全班的声音异常整齐：“用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积！”
接下去的计算与推广证明过程便没有任何难度了.（图4、图5是两个学生的不同做法）
如何由一条线段想到构建四条边的正方形，如何由一个小直角三角形想到用4个全等的直角三角形进行拼图，思维的来源并不是空穴来风，重新构建，“同一法”证明给了我们极大的启示.图4图5
借助图4，证明勾股定理结论的过程为：设直角△ABC的两条直角边长为a、b，
易证四边形ABEF、CMNK为正方形.
因为S正方形CMNK=S正方形ABEF+4×S△ABC，
所以a+b2=AB2+4×12ab，
所以AB2=a2+b2.
即：c2=a2+b2.
证明至此，学生对于为何要构建正方形，为何要计算三个正方形面积之间的关系的理解便水到渠成了.
在此次证明中，正是因为证明的条件不多，图形不丰富，且曾经所学习的基础知识不够充分，所以只好选择同一法，通过构造一个与原图全等的图，并在丰富了图形之后，试图获取原图的图形性质.当我们构造一个全等的直角三角形之后，不妨再构造一些，进而获得了一个嵌入式的双正方形.利用小学的面积知识，便轻松地推导出勾股定理.此次解题证明初入时为并列式解题思路，后继发展为上位式解题方式，是初中数学中为数不多的上位式解题的典型题.
3思维的两种表现形式与教学方式
3.1直觉式顿悟与发生式学习
毕师关于勾股定理的发现是一种直觉式顿悟.“直觉是一种人们没有意识到的对信息的加工活动，是在潜意识中酝酿问题而后与显意识突然沟通，于是一下子得到了问题的答案，而对加工的具体过程，我们则没有意识到”[2].在顿悟之前毕师经过了观察，“观察是人们对事物的一个知觉过程.……知觉与人的经验分不开”，“直觉判断，个体利用自己的经验对知觉对象可能具有的属性作出一种判断”[3].毕师的发现是直觉式的，建立在他的经验之上，对着地板图案的观察，毕师能够将其中的图形结构进行重组分析，进而突显直至顿悟发现勾股定理.而对于初中学生，他们数学的直觉、数学经验、知识结构、数学方法尚不完善，虽说数学教学是要踩着历史的脚印前进，但要求十三、四岁的孩子们也能独自经历毕师的思维之路，困难程度不言而喻.
故而，勾股定理的认知，是否该是一种发生式的、过程式的学习方式呢？
发生式命题学习，是将命题产生的过程揭示出来，使学生在体悟命题发生和发展的认识中获得命题的学习方式[3].这种学习，也可以称为是一种过程性学习，从一个概念到另一个概念过渡的过程，方法的过程，推理的过程，获得思维的过程均在教学的范畴之中.概念固然是数学知识结构中的重要结点，但数学学习不仅仅是概念的习得，更重要的是如何在概念之间进行推理，使得概念点之间能够发生联结，这就是思维.数学是思维的体操，“数学是玩概念的”，数学要学习的，就是如何在概念之间产生往回地、多向地联结.所以，笔者认为勾股定理的教学中，三个正方形的面积计算不是主要的，如何想到构建正方形才是教学释疑的又一个重点.
3.2命题教学的结论性学习与生长式规则性学习
喻平认为，概念是数学的基础，数学命题由概念组合而成，在条件概念与结论概念之间，有“规则”连结，故命题学习也称规则学习[3].
笔者认为，规则是思维发生的过程与表现形式，思维的发生是有方向性、目的性的，是具有生长性的，因此，命题的规则性教学，应当从规则的生长性上进行考虑，包括生长点的分析与思考.其实，数学的学习就是规则性的学习，这是一种学习的方法论.规则具有自主的生长能力，解题时，思维在条件性概念与结论性概念之间进行各种方式地联结，若联结成功，则规则的生长成功.
对于教学而言，侧重结论式教学与侧重规则性教学，对学习者的思维培养效果有较大不同.若进行结论式教学，学习者的思维生长能力较弱；若进行发生式学习，在联结对象未知的情况下，思维的活跃程度相对更高，对解题者概念系、命题系的调动范围更大更积极，对思维能力的锻炼也就越高.所以，规则性学习是命题学习的一个重点内容，其价值高于结论性概念的获取.学习命题，不仅仅学习结论性知识，更有规则性内容.另外，命题教学的价值方向，就是提高解题能力，而解题教学的重点，是寻找具有生长基础（生长点）与生长方向的规则，进而培养思维的能力.
借助于同一法，笔者将“求解斜边长”的问题进一步扩大，进行上位式转化，进而顺利地解决了勾股定理的推导问题.既是教学思考必得，也是教学偶得，飨与读者.
参考文献
[1]陈明儒，岑霞丽.逆思补形分割[J].中学数学教学参考，2014，（4）：38-39.
[2]钱学森.思维科学探索[M].太原：山西人民出版社，1985：22.
[3]喻平.数学教育心理学[M].南宁：广西教育出版社，2004：219.
作者简介潘薇羽（1978—），女，广西桂林人，中学高级教师，桂林市优秀数学教师，主要研究方向：生长式数学教学法.发表文章10余篇.
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