质疑问难，变式递进

时间：2020-04-05 05:21:15 来源：千叶帆本文已影响人

现代思维科学认为，问题是思维的起点， “疑”最容易引起定向探究反射，缺乏探究意识的人往往缺乏质疑精神，学习的过程就会按部就班，但求无过。没有问题就没有探究，没有探究就没有创新，因此，在学习的过程中同学们要努力培养发现问题的能力和质疑问难的探索精神。

一、质疑问难

问题：我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球中心）F2为一个焦点的椭圆，已知它的近地点Α距离地面439 km，远地点Β距离地面2 384 km，并且F2、Α、Β三点在同一直线上，地球的半径约为6 371 km，求卫星运行的轨道方程（精确到1 km）。

质疑问难①：地球是球体吗？假设地球是球体，即地面上的任何一点到地心的距离都相等并且等于地球的半径。

质疑问难②：为什么有等式a-c=F2Α，a+c=F2Β？通过分析发现问题的实质是求椭圆上的点到焦点F2的距离的最大值与最小值。

解：（方法1）设椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上任一点Μx，y，则有：

ΜF2=（x-c）2+y2

=（x-c）2+b21-x2a2

=c2a2x2-2acx+a2=cax-a。

当x=-a时，ΜF2 max =a+c，当x=a时，ΜF2min=a-c。

（方法2）设椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上任一点Μacosθ，bsinθ，则

MF2=（acosθ-c）2+b2sin2θ

=ccosθ2-2accosθ+a2

=ccosθ-a。

当cosθ=-1时，ΜF2max=a+c；

当cosθ=1时，ΜF2min=a-c。

二、变式递进

对问题的条件进行不断变换，可以培养同学们的探究能力和创新精神。注意到问题的实质是“求椭圆上的点到焦点的距离的最值”，不妨对条件“焦点F2”进行变换。

变式递进1：把“焦点”改为“x轴上的任意点”。求椭圆x225+y216=1上的点M到定点Αt，0的距离的最大值和最小值。

解：设椭圆x225+y216=1上一点Mx，y，则ΜΑ=x-t2+y2

=925x-259t2-169t2+16（-5≤x≤5）。

（Ⅰ）当t<-95时，ΜΑmin=5+t，ΜΑmax=5-t；

（Ⅱ）当-95≤t≤0时，ΜΑmin=43·9-t2，ΜΑmax=5-t；

（Ⅲ）当0

（Ⅳ）当t>95时，ΜΑmin=t-5，ΜΑmax=5+t。

变式递进2：把条件“焦点”变为直线L。如果点M在椭圆x225+y216=1上运動，直线L：x+2y-20=0，那么点M到直线L的距离是否存在最大值和最小值？若有，请给出解答。

解：设Μ5cosθ，4sinθ0≤θ<2π，由点到直线的距离公式得

d=5cosθ+8sinθ-205=89sin（θ+φ）-205。

故dmin=20-895，dmax=20+895 。

变式递进3：把“焦点”改为“椭圆内的一点”。已知F1是椭圆x225+y216=1的左焦点，M是椭圆上的动点，Α1，1是一定点，求ΜΑ+ΜF1的最大值和最小值。

解：设椭圆的右焦点为F2，则F23，0，且ΜF1+ΜF2=10 ，因为ΜF1=10-ΜF2，所以ΜF1+ΜΑ=ΜΑ+10-ΜF2=0，ΜΑ-ΜF2≤ΑF1=5。

故（ΜΑ+ΜF2）min=10-5，（ΜΑ+ΜF2）max=10+5。

变式递进4：已知F1是椭圆x225+y216=1的左焦点，M是椭圆上的动点，Α1，1是一定点，当ΜΑ+53ΜF1取最小值时，求点M的坐标。

解：由于离心率为e=ca=35，左准线方程为x=-253，过点M作准线的垂线，垂足为G，过A作准线的垂线，垂足为H，由椭圆的第二定义得ΜG=ΜF1e=53ΜF1，则ΜΑ+53ΜF1=ΜΑ+ΜG≥AG≥AH（定值），当且仅当M是线段AH与椭圆的交点时，上式等号成立，此时M-5154，1。

通过质疑问难，变式递进，同学们不但能理清解析几何中最值问题的处理思路，在解法的探究中，同学们还会激发出对问题的好奇心，产生新的思考，从而不断提高同学们的解题能力和探索能力。

本文系2015年度河南省基础教育教学研究重点课题《翻转课堂在高中数学教学中的实验研究》成果之一，课题编号：JCJYB150300029。

作者单位：河南省实验中学

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