灵活运用向量法，快速解答空间角问题

时间：2023-02-03 20:50:06 来源：千叶帆本文已影响人

李方埂

空间角包括直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角.通常，我们根据空间角的定义以及点、线、面的位置关系来求解空间角问题.运用该思路解题，同学们需熟练掌握空间角的定义，具备较强的空间想象能力和直观想象能力.而运用向量法，可将问题转化为空间向量运算问题，通过空间向量运算即可求解空间角问题.

一、求解异面直线所成的角问题

例1.已知正三棱柱ABC-ABC，其中AB=AA=2，则异面直线AB与CA所成角的余弦值为（）.

设异面直线AB与CA所成的角为θ，

二、求解直线与平面所成的角问题

（I）求证：AB⊥平面ABC;

（II）若P是棱BC的中点，求直线BB与平面PAB所成角的正弦值.

解法一：（I）略;（II）由（I）知，直线AC，AB，BA两两互相垂直，以A为坐标原点，分别以AC，AB，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图2所示的空间直角坐标系A-xyz，

设直线BB与平面PAB所成的角为θ，

令z=1，

设直线BB与平面PAB所成的角为θ，

三、求解二面角问题

例3.如图4，在三棱柱ABC-ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC=2，AD⊥平面ABC，且D在AC上.

（I）证明：AC⊥平面ABC;

解法一：（I）略;（II）以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，射线CB为y轴的正半轴，建立如图5所示的空间直角坐标系C-xyz.

由题设知AD与z轴平行，z轴在平面AACC内.

設A（a，0，c），则a≤2，A（2，0，0），B（0，1，0），

所以y=0，且（a-2）x+cz=0.

所以点A到平面BCCB的距离为

解法二：（I）略;（II）根据左侧面平行四边形的面

综上所述，运用向量法求解空间角问题需重点把握两点：第一，要根据图形的特征建立适当的空间直角坐标系.在建立空间直角坐标系时，要注意寻找线线、线面之间的垂直、平行关系，合理添加辅助线，使更多的点、线在坐标轴上，这样便于快速求得点的坐标、直线的方向向量;第二，要熟记异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量公式，灵活运用这些公式求解空间角问题.

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