重力坝坝踵裂缝水力劈裂耦合分析
时间：2023-02-26 13:10:07 来源：千叶帆 本文已影响人
郑安兴，潘国勇
(1.浙江水利水电学院 水利与环境工程学院，浙江 杭州 310018；
2.杭州市富阳区水利水电工程质量安全服务保障中心，浙江 杭州 311400)
坝踵裂缝在高水头压力作用下有可能进一步扩展，裂缝扩展会严重降低重力坝的承载力，威胁大坝安全[1]。目前从理论上解释重力坝坝踵裂缝水力劈裂耦合作用是非常困难的，然而数值模拟方法为坝踵裂缝水力劈裂耦合分析提供了有效途径[2-3]。其中扩展有限元法（XFEM）是目前解决断裂等不连续问题较为有效的数值模拟方法[4]。该方法处理断裂问题时结构内部几何或物理边界和计算网格独立，因而能方便分析水力劈裂问题。Wang 等[5]利用扩展有限元和有限体积法相结合的形式研究了混凝土重力坝的水压致裂机理；
Ren 等[6]基于非耦合模型用扩展有限元模拟了混凝土中的水力劈裂问题；
Paul 等[7]建立基于黏聚区模型的三维耦合HM-XFEM，并将其应用于非平面水力裂缝传播和多重水力裂缝干扰中；
Shi 等[8]建立了模拟三维非平面流体驱动裂缝扩展的全耦合流体力学XFEM 模型；
Zheng 等[9]基于扩展有限元法研究了水力裂缝与天然裂缝的相互作用；
董玉文等[10]采用扩展有限元法研究了混凝土重力坝水力劈裂问题；
Tan 等[11]采用基于扩展有限元的CZM 方法，研究了具有过渡带的横观各向同性层状页岩地层中水力裂缝垂向扩展行为。
综上可见，采用扩展有限元法对混凝土水力劈裂问题进行了广泛研究，而重力坝水力劈裂机理研究相对较少。本文考虑裂缝内的水压力作用，建立重力坝坝踵裂缝水力劈裂耦合分析的扩展有限元模拟方法，进行重力坝坝踵裂缝水力劈裂耦合分析。
依据单位分解方法，在传统有限元近似位移函数式中加入反映裂缝尖端奇异性和裂缝面不连续性的附加函数，得到扩展有限元法的近似位移形式[12]如下：
式中：Ni为节点形函数；
Ω、 ΩΓ与 ΩΛ分别为区域内所有离散节点的集合、裂缝贯穿单元的节点集及裂缝尖端单元的节点集；
ui、ai与分别为节点自由度向量、裂缝贯穿单元的附加自由度向量及裂尖单元的附加自由度向量；
H(x)为阶跃函数，反映裂缝两侧位移的不连续性，可表示为：
Fl(x)为裂缝尖端附加函数，反映裂缝尖端奇异性，对各向同性弹性体而言，其表达式[13]为：
式中：r与θ为裂尖局部极坐标，如图1 所示。
图1 裂尖局部极坐标Fig.1 Local polar coordinates of crack tip
对于裂缝贯穿单元和裂缝尖端单元，裂缝面上同一点的相对位移可由式（1）求得：
式中：w为裂缝面上同一点的相对位移。
扩展有限元法的近似位移形式构造后，通过虚功原理推导其控制方程：
式中：
σ为柯西应力张量；
δu为虚位移；
δε为相应的虚应变；
b、t和p分别为计算域 Ω上的体力、边界 Γt上的外力和裂缝面上 Γc的水压力。
由扩展有限元近似位移函数式（1）和平衡方程（5），联合式（4），可得到扩展有限元的控制方程：
式中：K为整体劲度矩阵，由单元劲度矩阵集合而成：
fi为整体荷载向量，可表示为：
式中：l=1，2，3，4。
d为节点位移未知量向量，可表示为：
裂缝断裂准则采用最大周向拉应力强度因子准则，裂缝开裂角 θc由下式确定：
式中：KI为I 型应力强度因子；
KII为II 型应力强度因子。
裂缝断裂判据为：
式中：KIeq为周向拉应力强度因子临界值。
裂缝应力强度因子计算采用相互作用积分方法。考虑两种应力状态，状态为真实状态，取扩展有限元数值解；
状态为辅助状态，取裂缝尖端的渐近场[11]。状态1、2 的相互作用积分I(1,2)表达式如下：
式中：Q为权函数；
δ1j为科罗内克尔符号；
A为裂缝尖端周围的积分区域；
pj为裂缝面上的水压力。
相互作用应变能密度W(1,2)为：
状态1、2 的相互作用积分和应力强度因子之间存在如下关系：
式中：对于平面应力，E∗=E；
对于平面应变，E*=E/(1－v2)，v为泊松比。
假定水流在裂缝内的运动满足层流条件，裂缝内水流的流量q应满足立方定律：
式中：
µ为水流的黏性系数；
w为裂缝的水力开度；
p为水压力。
对于低渗透介质体，可以忽略裂缝面上的滤失量，裂缝中水流还应满足质量守恒方程：
根据式（16）和（17），通过控制体积法推导得到裂缝内水压的差分形式：
图2 为裂缝内水流运动模型，控制体积内的四边形单元由裂缝上的高斯点概化而来，结合式（18）～（20）按顺序联立求解每个流体单元，可得到整条裂缝内的水压力。
图2 裂缝内水流分析模型Fig.2 Analysis model of flow in crack
试件的几何尺寸如图3 所示，裂缝的初始长度为1 m，断裂韧度为3.8×107N/m3/2，弹性模量E=40 MPa，泊松比ν=0.2，试件的右侧边界为固定约束，初始裂缝边界水压力为3 MPa，水力劈裂计算时不考虑试件自重。
采用四边形等参单元进行扩展有限元分析，该计算区域共划分625 个单元，676 个节点，有限元网格划分如图3 所示。水力劈裂作用下裂缝扩展步数共5 步，裂缝扩展步长为0.4 m。不同裂缝扩展长度时裂缝内水压力分布如图4 所示。可见，在裂缝扩展前，裂缝内水压力基本与边界水压力相同，当裂缝开始扩展时，裂缝内水压会产生剧烈下降，随着裂缝不断扩展，裂缝内水压力又会发展成边界全水头。上述计算结果与Brühwiler 等[15]得到的试验结论一致，从而验证了计算程序的准确性。
图3 计算网格(单位：m)Fig.3 Computational grid (unit: m)
图4 不同裂缝长度下裂缝内水压力Fig.4 Water pressures in crack under different crack lengths
某混凝土重力坝的坝高、坝顶宽和坝底宽分别为192.0、10.0 和159.8 m。考虑最不利工况，假定上游水头192.0 m，上游坡面坡度为3%，下游坡面坡度为70%。坝踵处有一初始裂缝，裂缝长度为10 m。坝基底部和坝基左右边界为法向约束，采用四边形等参单元进行扩展有限元分析，计算模型共划分5 920 个单元，6 109 个节点及有限元网格划分如图5 所示。坝体和坝基的材料计算参数分别为：重度24 和28 kN/m3，弹性模量22 和24 GPa，泊松比0.167 和0.200，断裂韧度21 500 和25 800 kN/m3/2。
图5 重力坝几何尺寸及裂缝扩展路径（单位：m）Fig.5 Geometric dimensions and crack propagation path of gravity dam (unit: m)
重力坝所受荷载主要有自重与水压力。水压力考虑重度超载方式，保持水位在192 m，只提高水重度，水压增加前后比值为超载系数[14]，本算例的重度超载系数取为2.5。
考虑裂缝张开宽度和裂缝面水压力之间的耦合关系，应用最大周向拉应力断裂准则，裂缝每步扩展步长取为3 m，裂缝扩展分9 步。采用扩展有限元方法计算得到的考虑水力劈裂耦合作用的重力坝裂缝扩展如图5 所示。从图5 中可以看出，坝踵初始逐渐向坝基底部扩展，且裂缝扩展朝下游方向。
为了分析裂缝扩展对重力坝应力分布的影响，由扩展有限元法计算得到的考虑水力劈裂耦合效应的重力坝应力分布见图6。由图6 可知，裂缝尖端区域和坝踵附近都出现应力集中现象，且裂缝尖端区域的主应力值明显高于坝踵附近的主应力值。
图6 应力云图Fig.6 Stress distribution diagram
图7 为裂缝张开宽度与裂缝长度之间的关系，可见，裂缝张开宽度随着裂缝长度的增加而增大。不同裂缝长度下的裂缝内水压力分布见图8。可见，在裂缝扩展前，裂缝内水压力基本与边界水压力相同；
当裂缝开始扩展时，裂缝内水压下降；
而后裂缝张开宽度不断增大，裂缝内水压力又变成边界全水头。
图7 不同裂缝长度下的裂缝张开宽度Fig.7 Crack opening widths under different crack lengths
图8 不同裂缝长度下的裂缝内水压力Fig.8 Hydraulic pressures along crack face under different crack lengths
不考虑水力劈裂（裂缝内无水压）、不考虑水力劈裂耦合（水压为边界全水头）和考虑水力劈裂耦合作用下的裂缝扩展路径如图9 所示。可见，有、无水力劈裂作用下裂缝都向坝基底部扩展，无水力劈裂作用下的裂缝开裂角大于水力劈裂作用下的，无水力劈裂耦合作用下的裂缝开裂角小于水力劈裂耦合作用下的。
图9 有无水力劈裂作用下裂缝扩展路径Fig.9 Crack propagation path with or without hydraulic fracturing
不考虑水力劈裂（裂缝内无水压）、不考虑水力劈裂耦合（水压为边界全水头）和考虑水力劈裂耦合作用下的裂尖应力强度因子随裂缝扩展长度的变化规律见图10。可见，不考虑裂缝水力劈裂时的Ⅰ型应力强度因子曲线比较光滑，随着裂缝扩展长度不断增大，Ⅰ型应力强度因子不断减小。不考虑水力劈裂耦合和考虑水力劈裂耦合作用下的裂尖Ⅰ型应力强度因子变化规律比较一致，具有波动性，随着裂缝扩展长度不断增加，无水力劈裂作用下的裂尖Ⅰ型应力强度因子要小于水力劈裂作用下的裂尖Ⅰ型应力强度因子，这说明裂缝水力劈裂导致裂尖Ⅰ型应力强度因子增大，降低了重力坝裂缝的稳定性。不考虑裂缝水力劈裂时的Ⅱ型应力强度因子比较平缓，随着裂缝扩展长度不断增大，Ⅱ型应力强度因子变化不大。不考虑水力劈裂耦合和考虑水力劈裂耦合作用下的裂尖Ⅱ型应力强度因子变化规律比较一致，具有波动性。
图10 有无水力劈裂作用下裂缝长度与Ⅰ、Ⅱ型应力强度因子之间的关系曲线Fig.10 Relation curve between crack length and types Ⅰ, Ⅱ stress intensity factors with or without hydraulic fracturing
本文考虑裂缝内的水压力作用，建立扩展有限元法框架下重力坝坝踵裂缝水力劈裂耦合数值模型，采用扩展有限元法对重力坝坝踵裂缝水力劈裂耦合进行了数值模拟分析，得到以下结论：
（1）自重、上游库水压力和水力劈裂作用下坝踵初始裂缝逐渐向坝基底部扩展，且裂缝扩展朝下游方向，裂缝尖端区域和坝踵附近都出现应力集中现象，且裂缝尖端区域的主应力值明显高于坝踵附近的。
（2）坝踵初始裂缝扩展前，裂缝内水压力基本与边界水压力相同；
当裂缝开始扩展时，裂缝内水压力下降；
而后裂缝张开宽度不断增大，裂缝内水压力又会变成边界全水头。
（3）无水力劈裂作用下的裂缝开裂角大于水力劈裂作用下的，无水力劈裂耦合作用下的裂缝开裂角小于水力劈裂耦合作用下的。
（4）裂缝水力劈裂会导致裂尖Ⅰ型应力强度因子增大，降低重力坝裂缝的稳定性，影响大坝安全。
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