基于贝叶斯法和响应面法的重载铁路桥梁模型修正
时间：2023-03-10 17:20:03 来源：千叶帆 本文已影响人
杨宏印，吴楠昊，王 波，张 威，刘章军，黄民水
（1.武汉工程大学 土木工程与建筑学院，湖北 武汉 430073；
2.绿色土木工程材料与结构湖北省工程研究中心，湖北 武汉 430073；
3.桥梁结构健康与安全国家重点实验室，湖北 武汉 430034）
近年来，随着重载铁路列车的轴重和车速不断提升，列车过桥的动力作用使重载铁路桥梁逐渐产生累积损伤，桥梁实测响应将逐渐偏离初始建立的有限元模型计算值。故有必要对初始的重载铁路桥梁有限元模型进行调整和修正，以为后续桥梁车致振动分析、桥梁健康监测和损伤识别提供基准有限元模型［1-2］。
有限元模型修正方法分为确定性修正和非确定性修正2 大类。确定性模型修正方法将参数和误差视为确定的映射函数［3-4］，而非确定性模型修正方法考虑了参数的不确定性因素［5］。贝叶斯方法是1种常用的非确定性模型修正方法，它以观测信息和先验信息为前提构造模型修正的目标函数。但传统的贝叶斯方法也存在一些缺陷：一方面，先验信息和观测信息并非完全对等和匹配；
另一方面，协方差无法准确调整先验信息［6］。文献［7-8］指出，在传统的贝叶斯方法中引入权重系数调整观测信息与先验信息之间的不确定性关系，可使贝叶斯方法在复杂工程中易于应用。
响应面方法是在设计空间里，利用回归分析原理，将有限元模型的输入参数与输出响应拟合出明确的函数关系式，即响应面模型［9］。故有限元模型修正过程中可利用响应面模型替代有限元模型，提高计算效率。
目前，基于贝叶斯法和响应面法对重载铁路桥梁有限元模型进行修正的文献较少。本文针对重载铁路桥梁有限元模型修正问题，基于贝叶斯法构造包含动态权重系数的目标函数，再结合响应面方法，提出1种基于贝叶斯法和响应面法的桥梁有限元模型修正方法。根据静动载试验数据对重载铁路黄河特大桥的有限元模型进行修正，并根据桥梁健康监测系统实测数据对有限元模型修正有效性进行评估。
1.1 基于贝叶斯法的动态目标函数
贝叶斯方法的基本假定为：获取观测样本之前，根据以往的经验，假定待修正参数在设计空间里服从特定的先验分布；
得到观测样本后，新的认识反馈在后验分布中。而从概率思维角度出发，不确定事件的所有可行解中，后验概率最大的1个解可信度最高，包含的客观因素最多、主观因素最少。
在有限元模型修正中，观测信息是实测的结构响应，先验信息是人们对结构的经验和预先认知，传统的贝叶斯方法将2 类信息平等对待，但实践证明2 类信息的重要性并不完全相同［10］。因此，本文引入动态权重系数β调整2 类信息在有限元模型修正过程中的权重关系。
定义待修正参数的误差向量εθ为具有可加性和服从正态分布的随机变量，待修正参数向量θ可表达为［10］
式中：μθ为待修正参数向量θ的均值向量。
式中：x为有限元模型计算值向量；
m为实测点数目；
εx为有限元模型计算值的误差向量；
x*为实测值向量；
n为待修正参数向量θ的维度。
由式（2）和式（3）推导可得，后验概率密度为
式中：k为常数。
可见，求式（4）的最大值等价于求解式（5）。
式中：J0为观测信息；
Js为先验信息。
式（5）即为包含动态权重系数的贝叶斯方法准则函数。
定义β为
式中：和yi分别为第i个实测点对应的响应面模型计算值和实测值。
以响应面模型计算值作为先验信息，以实测响应作为观测信息，则根据式（5），可构造包含动态权重系数的目标函数f(θ)，即
式（7）的解对应的θ即为有限元模型修正后的参数向量。以响应面模型计算值与实测值之间的相对误差不超过10%，且结构参数在合理的修正范围内作为约束条件，即
式中：θj为第j个待修正参数；
θjmax和θjmin分别为第j个待修正参数的合理上、下限值。
1.2 响应面模型构建
有限元模型隐含输入参数与输出响应之间的函数关系。响应面法就是通过合理的试验设计，确定设计空间的训练样本，利用回归分析的原理，拟合出多因子的超曲面，以显式函数表达形式替代有限元模型。有限元模型修正过程中可利用响应面模型替代有限元模型，提高模型修正的计算效率。响应面模型常用二次多项式拟合，即
式中：λo，λj和λjj均为待定系数，通过最小二乘法确定。
通过相关系数R2和均方根误差Re检验响应面模型和样本点之间的拟合程度。R2和Re的表达式分别为
1.3 联合贝叶斯法和响应面法的模型修正流程
本文联合贝叶斯法和响应面法进行有限元模型修正的基本流程为：首先，基于贝叶斯法构造包含动态权重系数的目标函数；
然后，构建精度较高的响应面模型作为有限元模型的替代模型；
最后，将响应面模型和观测信息带入目标函数，利用Fmincon 优化算法对目标函数进行迭代计算以得到修正后的模型参数。有限元模型修正流程如图1所示。
图1 有限元模型修正流程
本文以大准线重载铁路黄河特大桥为研究对象［11］。该桥是一座跨径组合为96.7 m+132.0 m+96.7 m 的预应力混凝土连续刚构桥，如图2 所示。2#墩和3#墩左右各存在长55 m、高度按抛物线变化的变截面段。根据施工节段将主梁的变截面部分划分为17 个关键截面。主梁采用单箱单室的箱梁截面。该桥的初始参数如下：主梁采用C50 混凝土，弹性模量为35.5 GPa；
桥墩采用C40 混凝土，弹性模量为34.5 GPa；
全桥混凝土密度为2 450 kg·m-3。
图2 黄河特大桥（单位：m）
该桥有限元建模时，变截面段梁采用变截面梁单元，主梁的单元刚度只考虑主梁本身；
单元质量除考虑主梁本身外，还将钢轨、道床、轨枕及桥面铺装等桥面附属物作为二期恒载均匀分配到各主梁单元。采用MATLAB 软件根据桥梁初始设计参数建立初始有限元模型。
3.1 静动载试验与初始有限元模型计算结果对比
为评价重载铁路黄河特大桥的实际受力性能，对其分别进行静动载试验。图3 为2 个静载试验工况的轮位加载布置形式。轮位1 工况时，采用1 台SS4B型机车和9 节C80型货车的编组方式进行加载，机车的第1 对轮压在距离3#墩中心位置12.23 m处；
轮位2 工况时，采用1 台SS4B型机车和15 节C80型货车的编组方式进行加载，机车的第1 对轮压在距离4#墩中心位置9.18 m 处。动载试验的主要目的是利用列车动载激起桥梁结构振动，测定桥梁的前3阶自振频率。
图3 静载试验各工况轮位加载布置（单位：m）
以静载试验工况的桥梁竖向位移和动载试验的桥梁前3阶频率结果作为模型修正的目标响应，进行初始有限元模型计算值与试验值对比分析。
2 种静载试验工况下主梁竖向位移的初始有限元模型计算结果与试验结果如图4所示，图中主梁向下变形为负。表1 为2 种工况下主梁控制截面竖向位移的初始有限元模型计算值与试验值对比。由图4 和表1 可见：主梁控制截面竖向位移计算值与试验值存在较大偏差，最大相对误差达18.12%。
表1 2种工况下主梁控制截面竖向位移对比
图4 2种工况下主梁竖向位移结果
桥梁前3 阶频率的初始有限元模型计算值与试验值对比见表2。由表2 可见：桥梁前3 阶频率计算值与试验值存在较大偏差，最大相对误差达10.29%。
表2 桥梁前3阶频率对比
可见，桥梁初始有限元模型不能准确反映重载铁路桥梁实际的力学性能，因此，有必要对重载铁路黄河特大桥初始有限元模型进行调整和修正。
3.2 有限元模型修正
将重载铁路黄河特大桥主梁对称划分为12 段子结构进行模型修正［12］，图5给出了1/2主梁的分段子结构划分图。
图5 1/2主梁分段子结构划分图（单位：m）
选取每段子结构的抗弯刚度修正系数αl（l=1，2，…，6）和质量密度γl（l=1，2，…，6）作为有限元模型的待修正参数，根据设计资料和工程经验，αl的初值均取为1，修正范围的上限值和下限值分别取为1.3和0.7；
γl的初值均取为2 450，修正范围的上限值和下限值均取为2 800和2 200。
利用最小二乘法拟合各待修正参数的响应面模型表达式。将其和试验值带入包含动态权重系数的目标函数，利用MATLAB 优化工具箱的Fmincon算法进行迭代求解，得到最优的待修正参数值。Fmincon 算法在参数的约束范围内搜索，当满足预先设定的收敛条件时，为保证计算结果的稳定性继续重复10 次迭代［13］；
之后，停止迭代计算，提取最小的迭代函数值和各项最优的修正参数值。
取动态权重系数β的初始值为0.93，迭代步长取为1，利用式（7）计算的目标函数值和动态权重系数随迭代次数的变化曲线如图6所示。
图6 目标函数值和动态权重系数随迭代次数的变化曲线
由图6 可见：Fmincon 算法的求解收敛于第50步，最优的目标函数值为0.148，对应的动态权重系数为0.998，该解对应修正后的参数值见表3 和表4。由表3 和表4 可见：子结构2 和子结构6 抗弯刚度系数的修正幅度高达30%；
质量密度的修正幅度范围为-10.19%～14.28%。
表3 子结构修正后的抗弯刚度系数
表4 子结构修正后的质量密度
将修正后的参数值代替初始参数，计算主梁竖向位移。有限元模型修正后2 种静载工况主梁竖向位移的计算值与试验值如图7 所示。表5 给出了模型修正后主梁控制截面竖向位移计算值与试验值对比。由表5可见：模型修正后主梁控制截面竖向位移的最大相对误差小于1%。
图7 模型修正后2种工况下主梁竖向位移计算结果
表5 模型修正后主梁控制截面竖向位移与试验值对比
表6 给出了模型修正后桥梁前3 阶频率计算值与试验值对比。由表6 可见：模型修正后桥梁前3阶频率的最大相对误差降低到8.82%。
表6 模型修正后桥梁前3阶频率与试验值对比
可见，采用基于贝叶斯法和响应面法的模型修正方法对重载铁路黄河特大桥进行有限元模型修正后，对于静载工况主梁竖向位移以及桥梁前3阶频率的计算值与试验值均符合良好，表明修正后有限元模型计算结果的准确性有明显提高。
3.3 模型修正有效性评估
重载铁路黄河特大桥在运营过程中安装了桥梁健康监测系统，可以对重载列车过桥时桥梁振动响应进行实时监测和数据采集。为进一步评估修正后有限元模型的精度和有效性，结合桥梁健康监测系统的实测响应，对桥梁车致振动进行计算和分析，将修正前后的结构参数替换车-桥耦合振动程序［14-16］中的相关参数得到重载列车过桥时桥梁的动态响应。
当C80型货车以60 km·h-1通过黄河特大桥时，采用MATLAB 软件编制的车-桥耦合振动程序得到的桥梁跨中竖向位移时程计算结果和利用健康监测系统采集的实测结果如图8 所示。由图8 可见：当重载列车通过桥梁时，模型修正前的桥梁跨中竖向位移时程计算结果和实测结果存在较大偏差，最大相对误差达43%；
模型修正后的桥梁跨中竖向位移时程计算结果和实测结果符合较好，最大相对误差降低到13%。列车进桥段和出桥段存在一定偏差，这是由于在重载列车实际运行中，每个轴重和车速存在一定随机性。当C80型货车以60 km·h-1离开桥梁后，3 条曲线均呈现较大幅度的振动衰减。这表明修正后的有限元模型能反映重载铁路桥梁结构实际的受力性能，可以应用于重载铁路桥梁的健康监测和安全评估。
图8 桥梁跨中竖向位移时程计算结果和实测结果
（1）基于充分融合观测信息与先验信息的贝叶斯方法，构造包含动态权重系数的目标函数，再结合响应面法形成1 种结构有限元模型的修正方法，该方法提高了有限元模型修正的效率和精度，为传统的重载铁路桥梁有限元模型修正提供了新思路。
（2）根据重载铁路黄河特大桥静动载试验数据，采用联合贝叶斯法和响应面法对其初始有限元模型进行修正后，主梁控制截面竖向位移计算值的最大相对误差从18.12%下降到小于1%，桥梁前3 阶频率计算值的最大相对误差从10.29%降低到8.82%，表明修正后的有限元模型计算结果的准确性有明显提高。
（3）利用修正前后的结构参数进行重载列车过桥时桥梁振动分析，修正后的桥梁跨中竖向位移时程计算结果与桥梁健康监测系统实测结果之间的最大相对误差从43%下降到13%，表明修正后的有限元模型计算精度较高，能用于评价桥梁结构实际的受力性能，可以应用于重载铁路桥梁的健康监测和安全评估。
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