多项式的整除与整数除法_整数域上多项式整除问题的探讨

时间：2019-02-20 05:37:32 来源：千叶帆本文已影响人

　　【摘要】本文积极探索因式分解的可行性，在学习Eisenstein判别法过程中，经过思考，给出了与Eisenstein判别法等价的整系数多项式整除问题的一种新的判别方法，并给出了整系数多项式在更宽的条件下的判别的推广。
　　【关键词】整除Eisenstein判别法多项式
　　
　　目前为止，判断有理数域上多项式是否整除的最好方法是爱森斯坦判别法。Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而非必要条件。如果一个整系数多项式不满足Eisenstein判别法条件，则它可能是可约的，也可能是不可约的。有些整系数多项式f(x)不能直接用Eisenstein判别法来判断其是否可约，此时可考虑用适当的代换使f(x+a)=g(x)满足Eisenstein判别法条件，从而来判定原多项式不可约。
　　推论1：设给定n次本原多项式
　　如果存在一个素数p，使得
　　则f(x)在Z[x]内不可约。
　　证明：用反证法。设f(x)在Z(x)内可约，即，
　　其中
　　这里.为方便计,下面式子中多项式的系数的下标大于其对应多项式的次数时，均认为等于零。
　　因为a0=b0c0，而，故 .
　　另一方面，p|an，而an=bmcl，故p|bm或p|cl；不妨设p|bm，因,故.假设b0,b1,…,bm中第一个不能被p整除的数为 bk，比较f(x)两端xk的系数，得
　　上式中ak,b0,b1,…,bk-1都能被p整除，则p|(bkc0).而，所以p|bk .矛盾。
　　故f(x)在Z[x]内不可约。
　　利用本推论，可以直接判定5x2+5x+2能否在Z[x]内可约。
　　例1：判定f(x)=5x2+5x+2在Z[x]内是否可约。
　　解：取p＝5，
　　故f(x)在Z[x]内不可约。
　　例2：判定f(x)=150x4+25x3+50x2+10x在 Z[x]内是否可约。
　　解：对于多项式，需要将它变形为本原多项式：
　　取p=5
　　故g(x)在Z[x]内不可约，f(x)在Z[x]内不可约。
　　推论2：设给定n次本原多项式
　　如果存在一个素数p，使得
　　则f(x)在Z[x]内不可约。
　　证法同上。
　　例3：判定f(x)=50x4+35x3+10x2+14x+15在Z[x]内是否可约。
　　解：取p＝5，
　　则f(x)=50x4+35x3+10x2+14x+15在Z[x]内不可约。
　　（作者联通：445035湖北省恩施市盛家坝民族中学）

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