基于拓扑优化的变参数桥梁结构优化设计
时间：2023-02-21 23:55:04 来源：千叶帆 本文已影响人
周艺，邱勇，何文云，郭金楠，阮艳平
（1云南农业大学 水利学院，云南昆明 650201；
2云南省玉溪市水利电力勘测设计院，云南玉溪 653100）
传统工程结构的设计主要依靠工程人员的经验和力学概念，并未形成系统的方法[1]。蔡新等[2]提及早期优化设计多采用基于直觉的准则法，缺少严格的理论依据，求得的待定解不一定是真实解。随着计算机的发展，基于数学和力学方法的结构优化设计，已经由尺寸优化发展到形状优化、拓扑优化等阶段[2]。
拓扑优化能在工程结构设计初始阶段为设计者提供一个新颖高效的概念性设计，使结构在布局上实现最优方案[3]。陈艾荣等[4]通过实例，介绍了应用拓扑优化技术进行桥梁结构找型的方法，并展示了结构衍化过程及优化结果；
张宏等[3]基于密度惩罚法，提出了一种连续体结构拓扑优化问题的优化准则算法，在桥梁概念设计中得到了理想的优化结果。
就大学生结构设计竞赛而言，夏雨等[5]对纸质结构模型进行了极限承载力的实验及结构优化；
陈庆军等[6]提出了如何在一个限定空间内，在满足强度及刚度的前提下，找出一个最优或者较优的空间杆系结构；
王文利等[7]在结构设计初始阶段经过理论分析和不断的模型试验，尝试了近50个模型之后得到满足赛题要求的结构。
总的来说，拓扑优化能够在概念设计阶段通过对结构进行整体找型，避免桥梁设计和制作阶段的盲目试载，节约大量时间并控制成本。
赛题所要求的桥梁结构设计，应能够承受分散作用的竖向集中荷载以及桥面移动荷载，亦即在限定的空间尺寸和加载条件下实现变参数（支座顶面标高、桥下净空顶标高和竖向加载荷载）桥梁结构预定功能。
1.1 结构模型设计要求
模型设计时，需要考虑的空间尺寸限制条件（图1）如下：（1）平面上桥梁结构设计须规避给定的4个阴影区域；
（2）为保证通航要求，桥下净空顶部标高H取值范围为-150～-50mm，以50mm阶梯取值；
（3）②轴支座顶面标高V1=-160mm；
（4）③轴支座顶面标高V2取值范围为-160～140mm，以75mm阶梯取值。
图1 加载装置图
模型加载过程中，B轴和B1B2交点的位移测点最大变形不得超过10mm。结构所使用的竹材力学指标见表1，模型设计或制作可供选择的竹材几何截面尺寸见表2。
表1 竹材力学指标
表2 竹材规格
1.2 加载方式
8个竖向加载点处的荷载取值范围为40～130N（取10N的倍数），各加载点荷载值不能重复。
（1）一级加载，8个加载点分别悬挂各自的待定荷载。
（2）二级加载，包括两个步骤：步骤一，保持C1、C2加载点静载不变，左侧加载点或右侧加载点中任选一个加载点将该加载点的所有荷载值转移至另一侧的任一加载点上；
步骤二，将第一步移入荷载点上的所有荷载值，全部转移至该加载点的B轴对称点，或者移至第一步移出荷载点的B轴对称点上。
（3）三级加载，保持上一级静载作用，施加移动荷载50N。
待定参数的加入，不仅赋予桥梁结构设计竞赛更多的灵活性，还提供了方案选择的诸多可能。
2.1 支座顶面标高取值
支座顶面标高V2变参数设计取值范围为-160～140mm，按照75mm阶梯进行 取 值，有-160mm、-85mm、-10mm、65mm、140mm等5种情况。前3种支座标高均低于桥面，与桥身和支座相连的杆件主要受压；
后2种支座高度均高于桥面，与桥身和支座相连的杆件主要受拉。为充分考虑与桥身和支座相连杆件的受压和受拉情况，分别选取支座标高低于桥面和高于桥面的三组取值-160mm、-85mm和140mm进行对比分析。
2.2 桥下净空顶部标高取值
桥下净空顶部标高H取值范围为-150～-50mm，以50mm阶梯取值，有-150mm、-100mm和-50mm等3种情况。
2.3 加载取值与方案设计
考虑变参数桥梁结构受不同荷载组合的影响，桥梁结构在满足第一级加载的情况下，需要针对荷载施加方案中第二级加载方案进行探讨。经过分析，选取以下两组工况（表3）：工况一和工况二的一级加载均为最大荷载组合，其中工况一的荷载基本对称布置，最大荷载130N布置在自由端，承担一定的扭矩，工况二的荷载偏心布置，最大荷载130N布置在自由端，加大偏心影响；
两种工况下二级加载的移动荷载点的选择均考虑最不利荷载（扭矩）组合影响；
在此基础上施加移动荷载50N完成三级加载。
表3 加载点取值方案(A1～D2）（单位：N）
变参数桥梁结构优化一般可分为3个层次：拓扑优化、形状优化、尺寸优化[8]，分别对应实际设计中的三个不同阶段：概念设计、基本设计和详细设计。拓扑优化是在给定的设计空间中，寻求满足一定约束条件的最优构件或材料分布形式，优化的三要素包括设计变量、目标函数和约束条件，根据不同的问题建立相应的数学模型，寻找求解设计变量的合适方法[9]。
通过拓扑优化可以对变参数桥梁结构进行整体找型，使得设计部分能够不受已有桥梁结构体系的思维束缚，从而得出不拘一格的结构形式[4]；
形状优化是用来发掘工程系统构件的合理内外边界形状的；
尺寸优化则是以结构杆件外形或者孔洞形状为优化对象，力求得到满足工程安全要求的最轻结构。
3.1 优化模型建立
考虑到桥面板上部空间范围内需要满足移动荷载要求，为了赋予结构更多的可选设计空间，模型上部结构采用左右对称的板壳结构，下部结构采用实体结构，如图2所示。
图2 结构初始模型图
3.2 结构拓扑优化
通过拓扑优化得到初始结构最不利荷载的位置为D1、D2点处（图3），经过找型后的模型以板面结构和杆件结构为主：桥面板采用杆件结构，上部结构采用板壳，下部结构采用板壳和杆件结构相结合的形式。有限元模型的单元类型采用梁单元，网格数量为677129，壳单元和实体单元均采用刚性连接。
图3 结构找型后模型图
3.2.1 支座顶面标高下的拓扑优化
考虑结构保留率50%时，对不同支座顶面标高=-160mm、-85mm和140mm进行拓扑优化，得到的删除率依次为55.95%、55.54%、52.67%（图4）。考虑到支座顶面标高对结构重量的影响以及冗余部分删除情况，支座顶面标高V2取值-85mm时，优化后得到的结构质量相对更小。
图4 支座顶面标高优化后结构图
3.2.2 桥下净空拓扑优化
当支座顶面标高取值V2=-85mm时，桥下净空取值只能考虑H=-50mm（H=-100mm和H=-150mm无法满足通航要求）。由于右侧支座两侧荷载原因，桥下净空拓扑优化结果见图5。
图5 桥下净空优化后结构图
3.2.3 加载取值拓扑优化
综合考虑对称荷载和不对称荷载作用情况，保留率为50%时，上部结构能够删除冗余部分，甚至形成杆件，但部分区域仍然存在板壳部分或者杆件截面面积还具有优化的空间。经过多次拓扑优化后，得到满足要求的不同方案结构保留率仅为26.50%、27.90%（图6），此时对称荷载作用下的结构质量为2.205kg，不对称荷载作用下的结构质量为2.286kg。相比初始结构，优化后的质量下降84.86%、83.25%。
图6 加载取值优化后结构图
综合考虑，选取工况二进行结构设计能够同时满足工况一加载要求，故后续优化设计仅对工况二进行讨论。
3.3 结构形状优化
由于实际工程的复杂性，拓扑优化的结果与实际需求相比，还远远不能达到工程应用要求[3]。形状优化通过调整结构内边界形状来改善结构性能，其主要用来发掘构件的合理内外边界形状[2]。基于结构所用材料要求，形状优化后的结构图均为杆件，如图7所示。
从图7可以看出，形状优化后的结构杆件集中在右侧支座附近，和结构加载的主要受力情况吻合。
图7 形状优化后结构图
3.4 结构尺寸优化
尺寸优化以构件外形为优化对象，对构件的截面尺寸进行调整，以适应不同加载需求。考虑不对称荷载作用，按照表2所给竹材规格对图7的结构进行尺寸优化，得到图8所示的结构，优化流程具体如图9所示。
图8 尺寸优化后结构图
图9 优化流程图
结构刚度的优化结果见表4。
表4 结构刚度优化结果
表4反映了结构优化过程中刚度的变化：结构从初始状态的实体结构到支座标高下的拓扑优化过程中，模型刚度在增大（变形减小）；
但从不连续的拓扑结构到竹材杆件结构，由于结构质量继续减少，杆件结构的刚度也出现减小（变形增大），故需要进一步验证最终优化后的结构是否能够满足承载要求。
3.5 结构内力及应力应变计算
为了判断结构强度、刚度以及稳定性是否满足要求，需要对拓扑优化后的结构（图8）进行内力分析和应力应变计算，结果如图10所示。
图10 三级荷载作用下模型内力及应力应变图
其中：A杆为轴向拉伸Nmax=654.9N，B杆为轴向压缩Nmax=656.8N；
C杆为最大剪力Qmax=4.7N，D杆为最小剪力Qmin=4.4N；
C杆为最大扭矩MTmax=181.3N，D杆为最小扭矩MTmin=262.5N；
C杆为最大正弯矩Mmax=504.5N·mm，D杆为最大负弯矩Mmax=851.1N·mm；
A杆为最大拉应力σmax=43.4MPa，E杆为最大压应力σmax=29.6MPa；
A2点处最大位移值εmax=-11.270mm。
根据以上计算结果，列出结构在不同工况作用下的杆件最大应力及应变值，如表5所示。
表5 结构应力应变计算结果
由表5可知，结构在不同工况情况下，强度均能满足要求。位移最大值出现在A2加载点，其位移εmax达到了-11.618mm和-11.270mm，位移测点的变形εmax仅为-2.642mm和-2.823mm。
对于受压杆件结构，即便强度满足要求，但如果变形过大，也会导致其出现失稳破坏。因此还需要结合杆件截面尺寸和内力组合情况进行稳定验算，表6给出了桥梁结构在工况二情况下主要杆件的允许承载力Pcr。
表6 主要杆件稳定性验算结果
结合表5和表6可以得出：经过拓扑优化后，受力杆件和整体结构均能满足强度、刚度以及稳定性要求。
对于变参数桥梁结构，通过拓扑优化可以方便地对结构进行整体找型：（1）在满足预定功能时左右对称最不利荷载情况下的结构保留率为26.50%时，优化后的冗余部分删除率为76.57%；
（2）左右不对称最不利荷载情况下的保留率为27.90%时，优化后冗余部分删除率为69.57%。亦即删除冗余部分过程中，不同荷载分布的作用影响不大。
基于拓扑优化结果和赛题所给材料进行形状优化，得到斜拉式的桥梁上部结构，再结合竹材规格进行尺寸优化得到最优截面：（1）左右对称最不利加载情况下，结构模型质量为290.2g，杆件最大拉应力σmax=34.5MPa、最大压应力σmax=-27.9MPa，最大位移ε=-12.002mm（测试点位移满足要求）；
（2）左右不对称最不利加载情况下，结构模型质量为294.2g，杆件应力和位移值同样能够满足要求。表明满足不对称加载的变参数桥梁结构也能够满足对称加载要求。
综上所述，拓扑优化能够在桥梁概念设计阶段通过整体找型功能，结合形状和尺寸修改，得到满足强度、刚度以及稳定性要求的结构，从而避免盲目试载，节约时间和控制成本。
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