善待错误，有效生成
时间：2020-05-07 05:18:23 来源：千叶帆 本文已影响人
[摘 要] 教学要注重教学资源的整合，尤其是对于学生的错误和意外生成，变废为宝、以错为镜，可以引导学生更为深入地理解数学知识，体会数学思维方法，获得数学核心素养的有效提升.
[关键词] 高中数学；错误；生成
高中学生在数学学习中往往会出现一些教师预设之外的反复性错误，这些反复性错误往往令教师产生学生脑袋为“榆木疙瘩”的指责，教师在指责学生的同时对于自身教学方面的审视却很少，事实上，教师面对学生这些一而再再而三的错误应该经常性地向内归因：我的教学设计、教学组织有没有出现导致这些错误产生的问题呢？学生出现的这些错误我能不能对其妥善利用进行资源的最大拓展呢？这些已经发生的错误能否成为我帮助学生“悟错”的基点呢？教师将学生的错误进行科学而艺术的变缺为好往往能使学生的深度学习更好地实现.
将错误作为学生兴趣激发的生成点
典型案例的设计是我每一节新课开课前必须要做的功课，有时候是根据学生前面作业中的典型错误进行的案例设计，有时候是依据自己教学经验与教材分析特意设计的错误以导入新课题.不管案例设计的内容怎样，这些案例都是利用学生纠错的天性来激发他们探究兴趣的.很多的材料因为来自于学生又贴近学生也就更加能够促使学生对概念与规律的理解，新知识的学习也因此在学生心中早早形成重要的铺垫.
案例一：已知一直线与抛物线y2=2x有一个交点，且其经过点（0，1），试求该直线方程.
分析：学生易犯错误一般有以下三种情况：
第一，学生首先会设直线为y=kx+1，但k=0和斜率不存在的情形学生却往往会疏漏，实际上就形成该直线斜率存在的本质变化，且k≠0，这是思维不够严密所导致的错误.
第二，根据题意，此交点产生的情况有相交与相切两种，第一种的错误解法中并没有将相切的情况做出考虑.这是对题意中已知条件关系理解上的不够透彻.
第三，对直线方程与抛物线方程联系整合后所得的一元二次方程的判别式应做考虑，也就是说，k≠0，但上述的解法中根本没有考虑这些，考虑问题有疏漏.
正确解答：（1）所求直线斜率不存在即表现为直线与x轴垂直的状态，根据题意，该直线过点（0，1），因此，x=0，即y轴，与抛物线y2=2x相切.
（2）所求直線斜率为零时直线为y=1，平行于x轴，与抛物线y2=2x只有一个交点.
（3）根据题意设直线为y=kx+1（k≠0），则y=kx+1，y2=2x，所以k2x2+（2k-2）x+1=0. 令Δ=0，得k=，所以所求直线为y=x+1. 综上，满足条件的直线为y=1，x=0，y=x+1.
分析与反思：基础知识理解不清、思维定式、注意失调、记忆不深刻等令错误产生的各个原因都在题目的错解中一一被折射了出来. 因此，学生自身所存在的这些错误资源怎样进行开发与利用是教师应该仔细思考的问题，教师只有将这些错误作为复习巩固的突破口才能取得较好的教学效果.
将错误作为学生思维创新的突触
新知识接纳之前学生已经形成的前科概念中也会有很多的错误观点或者认识存在，这些观念或认识如果得不到及时的纠正与完善将会对后期重点知识的学习产生极大的负面影响. 因此，教师在教学中应科学进行设疑自探、解疑合探、质疑再探的设计、引导与推进，将学生在认知过程中产生的错误彻底暴露出来并及时进行点拨与指导性的纠正，使得学生尽早将眼前的思维障碍彻底突破，尽早进入创新求异的新境界和新层面，学生一旦体验到思维所产生的价值便会尤为感受到思维的快乐.
案例二：已知一数列前n项的和为Sn=n2+2n+4，求其通项公式.
正确答案：an=7，n=1，2n+1，n≥2.
错因分析：n=1这一情况的考虑容易遗漏导致解题时以偏概全，产生任何情况下都有an=Sn-Sn-1的错误认识.
分析与反思：学生的纠错是对自身错误认知进行纠正与完善的有意义行为，学生所有的错误都可能成为他们认知起航的新坐标，并且能使他们在错误中产生新的学习所需的能力与有意义的存在.
将错误作为教师调整教学方案的依据
课堂教学中尤其是重难点的学习活动过程中有时候会出现很多学习的变数与错误. 一些具备较高生成价值的错误是教师及时、科学调整自身教学方案的重要依据和导向，教学活动往往会因为这些有价值的生成生出别样的精彩.
案例三：已知有x和y两个正数，满足条件x+y=1，试求z=x+y+的最小值.
错解一：若a>0，则a+≥2，则z=x+y+≥4，所以z最小值为4.
错解二：z==+xy-2≥2-2=2（-1）.
错因分析：错解一等号成立必须满足x=且y=，即x=1且y=1，与x+y=1矛盾；错解二等号成立必须满足=xy，即xy=，与0 正确解析：z=x+y+=xy+++=xy++=+xy-2，令t=xy，则0 分析与反思：题目列出以后首先是放手给学生自主解题，让学生在自己解题的思维海洋中徜徉，不管学生是对还是错都鼓励学生将自己的思维仔细地表达出来，即使看到学生错误也不急于扭转他们思维的方向，用自己的语言、眼神鼓励他们呈现出自己的所思所想，然后再根据学生解题的情况有针对性地引导他们进行正误的判别，给予学生充裕的时间进行错误的反思与纠正，在保护好学生自尊心的同时用学生可以接受的方法引领他们进行错误的探寻和纠正. 将纠错作为学生反思能力锻炼的良机 教师根据学生暴露的问题和错误可以巧妙而科学地设置一些“陷阱”让学生练习，学生的认知会在这个过程中达到拨乱反正的效果，“吃一堑长一智”的经验也会因此而积累. 案例四：已知数列{an}，an=n2-kn（n∈N*），且{an}单调递增，试求k的取值范围.正确答案：（-∞，3）. 错因分析：{an}是关于n的二次函数，因此，若{an}递增，则≤1，所以k≤2. 正确解析：由于an+1-an=（n+1）2-k（n+1）-n2+kn=2n+1-k，且{an}递单调增，故an+1-an>0，即2n+1-k>0恒成立，分离变量，得k<2n+1，故k<3. 分析与反思：学生会运用二次函数的性质进行题目的思考与解决，但也往往会将定义域为正整数集忽略从而使得错误产生. 这是他们掉进自己思维陷阱而产生的，因此，教师应该引导学生重新思考并摆脱思维陷阱的束缚，使数学方法论逐步形成与发展的意识在学生脑海中萌芽，并因此能注意到形似质异这类题目的本质区别. 将错误作为学生质疑意识培养的平台 教师可以有意识地设置一些学生之前的错误隐含于自己的教学设计中，很多学生会毫不怀疑教师所呈现的一些习题或者思想，教师引领他们顺着自己的思维发展去发现过程中的矛盾或者结果的反差，这时候适时介入学生的思维使其进行反思，这能有效培养出学生质疑教师、质疑“真理”的意识，学生学习中自我展示的成就感很多时候也在这个时候产生. 案例五：设f（x）=ax2+bx，且1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范圍. 错因分析：此题的解决中学生比较容易通过a，b的求解进行f（-2）范围的求解，已知不等式中等号成立的条件不一定相同在这样的解题中容易被疏忽而导致出错. 正确解析：令f（-2）=mf（-1）+nf（1），则4a-2b=m（a-b）+n（a+b），所以4a-2b=（m+n）a-（m-n）b，比较系数有m+n=4，m-n=2，所以m=3，n=1，所以f（-2）=3f（-1）+f（1），所以1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，所以5≤3f（-1）+f（1）≤10，即5≤f（-2）≤10. 分析与反思：教师巧妙人为地制造“错误”使得学生的认知在错误纠正过程中得到强化，比常规教学往往更令学生记忆深刻. 常规教学中固定的模式与思维往往使教师和学生都会产生一定的思维习惯与“路径依赖”，教师外部强化与学生自发探索往往因为这些习惯与依赖而找不到有效突破的临界点. 错误并不可怕也无法避免，错误探寻与纠正之后的喜悦才是学习中获得的最大价值. 课程资源开发自然需要一定的技巧才能更有价值，不过，师生之间心灵的沟通与自发的情感交流也一样重要.学生出现的错误可以作为后续探究学习的思考标本，教师也可以从这些错误出发重新审视自己的教学设计与组织，尽可能理解学生出错的原因所在，从根本上去解决学生错误的本质并扭转他们的错误认识. 学生在错误的解决中积攒正确的认知与思想方法，在错误的纠正与完善中尽情拓展自身思维的宽广度与灵活性，以错误为出发点将真知牢固掌握并获得解题的规律与经验. 在题海战术中无法获得的认知在纠正错误的过程中得到了反思与提炼，解题时候的瞻前顾后不知不觉被杜绝，信心与实力在不停的反思与提炼中稳步提升. 学生的学习不再停留于知识记忆与浅层理解的水平，在教师的着力指导与引领下逐步向深度学习过渡并徜徉其中. 教师对课堂活动的驾驭也更加具有目的性和针对性，课堂效率在不断的错误生成与纠正完善中有力提高，教师也不用再充当“拉牛上树”纤夫角色，更深层次的职业幸福感也因此慢慢升腾.
