抽象思维能力 [如何培养学生的数学抽象概括能力]
时间：2019-02-03 05:39:28 来源：千叶帆 本文已影响人
摘 要:数学抽象概括能力是一种综合能力,需要一个长期的培养过程。本文通过归纳课本知识、数学概念和公式教学、类比和联想等思维途径介绍如何培养学生的数学抽象概括能力。 关键词:数学;抽象;概括;能力
由于数学学科自身的特点,数学学习中需要学生具有较强的抽象概括能力,即要能抓住问题的特征,自觉地排除一些非本质因素的干扰,由此及彼、由表及里得进行分析和综合,能够善于发现问题中条件的细微变化,抓住问题的关键点和切入点,从而进行解题尝试和解题突破。在数学教学中,由于数学的抽象性,经常导致学生理解上的偏差,因此,教师在教学中要引导学生进行抽象概括,培养学生的概括能力,学会把本质的和非本质的东西区分开来,把具体问题抽象为数学问题,进而提高学生的解题能力。
一、在归纳课本知识的学习过程中,培养学生的概括能力
能力生成于实践,知识不等于能力。学生数学抽象概括能力的形成有赖于教学过程的培养。教师在讲授完每一节课的内容后,要根据学生的反应和内容的特点,对课本知识和教后情况进行归纳。通过归纳,不仅可以复原结论的形成过程,而且可以在归纳中学会概括一类事物的本质属性。这种归纳不是对知识简单的小结,而是一种高于课本知识的概括。经过这样概括的知识便于学生记忆和理解。
比如,用比较法证明不等式时,有时作差比较,有时作商比较,这种方法也常用在抽象函数的单调性证明中,但学生一时很难接受及分辨清楚,为了突出这一难点,教师可把比较法的两种思路讲授完后,对其进行推广,同时总结规律:
①如函数f(x+y)=f(x)・f(y)中,当x�0,f(x)�0时,这种形式常常采取作差比较,且与0比较大小;
②如函数f(xy)=f(x)+f(y)中,当x�1,f(x)�0时,这种形式常常采取作商比较,且与1比较大小。经过这样的概括,学生对抽象函数的两种形式能基本掌握,并且能很好地运用它们。这种对相应知识的归纳、概括能力不仅是学习的需要,在今后的生活和工作实践中也是非常重要的,我们要在教学中逐步培养学生的这种归纳和概括的能力。
二、在数学概念和公式教学的过程中,培养学生的概括能力
数学概念本身具有高度的概括性,其形成过程实际上就是一个概括的过程。教师在精心设计数学概念教学的过程中,让学生经历由具体到抽象的过程,培养学生形成数学概念的概括能力。
如教学“棱柱”的概念时,一般有如下几个步骤:(1)教师举出常见的一些物体,如三棱镜、书本、方砖、螺丝帽等,让学生寻找这些物体的共同属性(主要研究线面关系)。(2)让学生通过观察找出这些物体的共同属性(主要是线面关系)。(3)通过抽象,提出物体本质属性的各种猜想和疑问,运用转化、举反例等方法对题设进行证明和推断,肯定或否定某些共同属性以确认其本质属性。(4)让学生举出实例,将上述本质属性类比推广到同类事物,概括形成棱柱的概念,并用定义表示。在这个过程中,可将零散、杂乱的知识系统化、条理化,概括成带有规律性的结论,以促进学生概括能力的提高。
又例如,在教学“三角函数”的九组诱导公式时,对于如何记忆这九组公式,师生通过分析可概括为:“奇变偶不变,符号看象限。”既便于记忆,语言又非常简洁。再如与二项展开式的通项有关的问题,关键是抓住展开式的通项公式。
三、通过类比和联想,培养学生的抽象概括能力
类比实质上是从提供的原型中找到模式,再利用模式获得新的概括。由于数学知识的完整性和严密性,许多数学结论和方法都具有相关性和相似性,在课堂教学中只有充分利用这些相关性和相似性,采用类比和联想的方法,才能让学生自己探索和发现许多新的结论或新的方法。我们在教学中常常根据已有的公式、性质、类比、猜想未知的公式和性质,沿用科学家的思维方法:先类比,后提出问题,再给予证明。这样得出的正确结论便于学生记忆。学生通过这些活动,不仅能挖掘自己的潜能,增强学习数学的信心,提高学习数学的兴趣,还可以体验到成功后的喜悦,为今后创造性的学习和工作打下良好的基础。
比如,我们在解高次不等式或分式不等式时,教师可首先引导学生联想一元二次不等式的结构和解集的形式,概括出各不等式相同的结构特征,引导学生运用解一元二次方程的思维方法,制定各自的解题策略,从而明确解集仅与二次方程的两根、抛物线的开口方向有关,x轴上方的图像对应于ax2+bx+c�0(a�0)的解集,x轴下方的图像对应于ax2+bx+c�0(a�0)的解集。
例如,高次不等式(x2-3x+2)(x2-2x-3)�0左边多项式的根依次为-1、1、2、3。在数轴上依次标出这些根,并类比二次不等式的解集为(-1,1)Y(2,3)。
在解完课本列举的几种高次不等式和分式不等式的基础上,引导学生通过对每一道题的解题过程的反思,概括出在解题过程中涉及的常用思想和方法,使学生能够明白,解高次不等式和分式不等式的解题思路就是通过类比联想而转化的。
解题过程中的概括和解题之后的规律总结,在解决问题中的作用又是相互联系的,解题过程中的概括是解题后规律概括的基础,解题后的规律总结为下一个问题的概括奠定基础,通过这样循环往复式的概括和提升,学生的概括能力会逐步得到提高。抽象概括能力是学生学好数学的重要条件,也是数学教学的任务之一。数学教学应通过设计恰当的教学模式,对学生抽象概括能力的培养施以积极影响。通过归纳知识,概念教学,公式教学,解题教学等途径培养数学抽象概括能力的效果很好。当然,在这个过程中,一点要突出学生的参与。同时数学概括能力的培养还要与其他能力的培养协调起来,相互促进,共同发展。■
