各省高考立体几何真题汇编归纳 [向量在立体几何中的应用]

时间：2019-02-20 05:36:43 来源：千叶帆本文已影响人

　　作为新课程改革，高中数学教材的两个显著变化就是“向量和导数”的引入。其目的也很明确：为研究函数、空间图形，提供新的研究手段，即充分体现它们的工具性。但这种“工具性”，只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的“认知模块”、“知识体系”。关于空间向量的数量积有这样三条性质：
　　（1），
　　（2），
　　（3） .
　　作为“工具性”，性质（2）（3）比较明显，会立即得到充分的应用。对于性质（1）我们发现他在立体几何中有很大的用处：有关空间问题中的“三大角度”和“两大基本距离”的坐标法的研究中有着奇妙无穷的用途。
　　一.性质的由来
　　已知向量和轴l，是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影，作点B在l上的射影则叫向量在轴l上或在方向上的正射影，简称射影。可以证明得，（证明略，图如下所示。）
　　此性质的内含理解有四点：
　　①结果是一个数量（本身含正负号）；②其正负号由向量与所成角的范围决定；③加上绝对值便是一条线段长度（这里刚好组成一个直角三角形的两条直角边）；④可以推广为求一条线段在另一条直线上的正射影（此线段所在直线与已知直线的位置关系可以异面直线）。
　　二.在立体几何中的用法
　　1.它是空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点”。
　　1.1 线线角的求法的新认识
　　我们把这两条线赋予恰当的两个向量，问题就化归为两个向量的夹角（两个向量所成的角的范围为［0,］），即 ,
　　我们重新认识这个公式如图：
　　，此时OB1可以看作是与方向上的单位向量的数量积
　　（其中）这就是由数量积这条性质得到的.
　　故此结论重新可以理解为：
　　1.2 线面角的求法的新认识
　　（其中为平面的一个法向量），此结论重新可以理解为：，此时OP又可以看作是在上的投影，即
　　与方向上的单位向量的数量积
　　（其中）,故:
　　1.3 二面角的平面角的求法的新认识：
　　两二面角所在平面的各一个法向量）此结论重新可以理解为：
　　其从上述梳理完全可以看出其本质特征：这里的“空间角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接――对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积，而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图，学生完全可以达到“系统化”和“自主化”。
　　2.它又是空间两大距离（即点面距、异面直线间距离）用向量法求解的“联系点”。
　　空间中有七大距离（除球面上两点间的距离外）基本上可转化为点点距、点线距、点面距，而点面距又是重中之重。另外两异面直线间的距离，高考考纲中明确要求：对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。教材按排中引进了向量法来解决距离问题，不用作出（或找出）所求的距离便可求距离。
　　2.1 点面距求法
　　（其中为平面的一个法向量），此结论重新可以理解为：，即在上的投影，即与方向上的单位向量的数量积（其中）.
　　2.2 异面直线间距离求法
　　从这几年的高考《考纲说明》观察，我们不难发现，对异面直线间距离的考查本意不能太难，但若出现难一点的考题，命题者又能自圆其说的新情况。实际上，这种自圆其说法归根到底在于高考考纲中的说法：只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。那也就是说，在不要作出公垂线的情况下，也可以求出它们的距离的，那就是用向量法。
　　如图所示：若直线l1与直线l2是两异面直线，求两异面直线的距离。
　　略解：在两直线上分别任取两点A、C、B、D，构造三个向量，记与两直线的公垂线共线的向量为，则由
　　与得 ,则它们的距离就可以理解为：在上的投影的绝对值，
　　即：
　　两大距离的统一理解:
　　（点面距）、（异面距）
　　其本质特征是：一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影，也即数量积此性质的直接应用。
　　由上述的剖析过程不难看出：空间中的三大角与三大基本距离的计算，都隐藏于这个“特定”的数量积的性质之中，体现在这个公式结构的“统一美”之中，把问题的本质揭示得“淋漓尽致”，而又不失自然！这给“立体几何”中向量的工具性的体现，增色了几分美感与统一感！
　　三、性质的应用
　　例：2005年山东省（理科）高考第20题
　　如上图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=2，AA1=1，直线BD与平面AA1BB1所成的角为30°，AE垂直BD于E，F ，为A1B1的中点.
　　（I）求异面直线AE与BF所成的角；
　　（II）求平面BDF与平面AA1B所成的二面角；
　　（III）求点A到平面BDF的距离.
　　解：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，AA1所在的直线为z轴建立如图示由已知可得AB=2，AA1=1，可得A（0,0,0），B(2,0,0)，F（1,0,1），又AD⊥平面AA1B1B，从而BD与平面AA1B1B所成的角为∠DBA=30°，又AB=2，AE⊥BD，AE=1，AD= 从而易得
　　（I）因为
　　所以，
　　易知异面直线AE、BF所成的角为
　　（II）易知平面AA1B的一个法向量=（0,1,0），设=(x,y,z)是平面BDF的一个法向量，由
　　所以
　　即平面BDF与平面AA1B所成的二面角的大小（锐角）为
　　（III）点A到平面BDF的距离，即在平面BDF的法向量上的投影的绝对值，所以距离所以点A到平面BDF的距离为
　　通过上述几个高考题的分析，我们不难看出：立体几何中的几何法的“难在找（或作）所求的角度或距离”,通过这个数量积的性质的转化（方法的转化与知识之间的转化），其“难”渐渐地溶解于“转换与化归”之中及学生的细心地“计算”之中，从而也焕发了数量积这条性质的奥妙之处，也就更体现了“向量”这个工具在立体几何中应用的优越性、工具性。因为”程序化”的计算使我们的学生的“信心”倍增!同时让我们的学生也懂得了“知其所以然”，再也不用为记这一个“好结论”而烦恼了！
　　（作者联通：725806陕西省白河县第二中学）

相关热词搜索：立体几何，向量，

各省高考立体几何真题汇编归纳 [向量在立体几何中的应用]

热门文章